Démonstration par récurrence

[invite1394ea64]

Bonjour, j'ai un devoir maison sur les récurrence et dont l'un des exercices me pose problème. Merci de pouvoir m'aider
Voici l'énoncé :

Pour cet exercice on admet les résultats suivants :

a. La dérivée d'une fonction affine : (ax+b)'=a
b. La dérivée d'un produit : (uv)'=u'v+uv'

On demande alors de démontrer par récurrence la formule de dérivation d'une puissance, pour n>1(supérieur ou égal)
(x^n)'=nx^(n-1)

Concernant l'initialisation, j'a dû mal car avec n=1
je trouve,
x^1 et 1x^0 soit 1.

Hérédité :
On suppose que pour un certain entier k>1 on a :
(x^k)'=kx^(k-1)
Montrons que l'on a :
(x^(k+1))'=(k+1)x^k

On a :
(x^(k+1))'=x*x^k

Par la suite je bloque, je ne sais pas où me diriger.
Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
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[invitedb5bdc8a]

Concernant l'initialisation, j'a dû mal car avec n=1
je trouve,
x^1 et 1x^0 soit 1.

Et pourquoi as-tu mal ? la dérivée de x c'est quoi ?

(x^(k+1))'=(k+1)x^k

On a :
(x^(k+1))'=x*x^k

et le ' il est passé où ?

(x^(k+1))'=(x*x^k)' et tu appliques la formule dela dérivée d'un produit de fonctions qui t'est donnée.

[invite1394ea64]

Merci pour l'initialisation, je ne pensais pas qu'il fallait dériver x.

Concernant l'hérédité, j'ai appliqué ton conseil et je tombe donc sur :
(x^(k+1))'=(x*x^k)'
(x^(k+1))'=(1*x^k+x*(k+1)x^k )'
Puis j'applique la dérivée d'une fonction affine :
(x^(k+1))'=(1*(k+1)x^k)'
soit
(x^(k+1))'=((k+1)x^k)'

Cela m'a l'air correct. Merci de votre aide.

[invitedb5bdc8a]

((x^(k+1))'=(x*x^k)'

Ok

(x^(k+1))'=(1*x^k+x*(k+1)x^k )'

???

(x^(k+1))'=(1*(k+1)x^k)'

ça (sans le ' à la fin) c'est justement ce que tu dois démontrer ?



il faut appliquer (uv)'=u'v+uv' avec u=x et v=x^k

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1394ea64]

Pour :
(x^(k+1))'=(x*x^k)'
(x^(k+1))'=(1*x^k+x*(k+1)x^k )'

j'ai appliqué la dérivée d'un produit soit
u=x donc u'=1
Mais je viens de me rendre compte que je me suis trompée pour v.
donc v=x^k doit v'=kx^(k-1)
donc je réctifie :
(x^(k+1))'=(1*x^k+x*kx^(k-1))'
ça va donc tout fausser mes résultats.
Par la suite dois-je continuer avec la dérivée de la fonction affine ?

je dois démontrer que (x^n)'=nx^(n-1) sans le ' pour la deuxième partie. Mais c'est que dès le début vous m'avez un peu embrouillée avec '. :S

[invitedb5bdc8a]

(x^(k+1))'=(1*x^k+x*kx^(k-1))'

désolé si je t'ai embrouillée,mais là une fois que tu as appliqué la formule, le ' disparait: le ' en rouge est de trop !
tu l'as déjà effectué si je puis dire.

[invite1394ea64]

D'accord merci, j'ai compris ^^

j'ai continué à développer :
(x^(k+1))'=1*x^k+x*kx^(k-1)
J'utilise la dérivée de la fct affine
(x^(k+1))'=1*kx^(k-1)
Mais je ne sais pas si la récurrence est établie. car je dois trouver (k+1)x^k et non kx^(k-1)

[invitedb5bdc8a]

J'utilise la dérivée de la fct affine
(x^(k+1))'=1*kx^(k-1)

Mais pourquoi tu t'entêtes à ça ? et pis d'abord c'est pas une fonction affine

car je dois trouver (k+1)x^k et non kx^(k-1)

regardes mieux : tu l'as.

(x^(k+1))'=1*x^k+x*kx^(k-1)
à ce niveau tu a fini de dériver, il te reste à mieux arranger cette expression en regroupant x et x^k-1
pour te donner un terme en x^k puis à grouper les termes en x^k.
J'ai l'impression que tu te compliques la vie mais je n'ai pas encore identifié précisément ton blocage.

[invite1394ea64]

Je pensais que vu que la dérivée de la fct affine est dans l'énoncé je devais l'utiliser à un moment donné.

Je vais donc suivre ton conseil pour ci-contre :
(x^(k+1))'=1*x^k+x*kx^(k-1)
(x^(k+1))'=1*x^k+kx^k
(x^(k+1))'=kx^(k+1)

Encore une fois je suis pas satisfaite de mon résultat, me serais-je donc trompé encore une fois ?

[invitedb5bdc8a]

Je pensais que vu que la dérivée de la fct affine est dans l'énoncé je devais l'utiliser à un moment donné.

tu l'as utilisée en dérivant x ! Mais ça t'a paru si naturel.

(x^(k+1))'=1*x^k+kx^k
(x^(k+1))'=kx^(k+1)

Encore une fois je suis pas satisfaite de mon résultat, me serais-je donc trompé encore une fois ?

Oui, 1*x^k+k*x^k = (1+k) x^k

[invite1394ea64]

Et là aussi c'était si naturel que je suis passée à côté ! Je crois que j'essaye de chercher la complication là où il y en a pas.

Et bien un grand merci, avec ce DM et votre aide, j'ai réussi à mieux cerner les récurrences qui me paraissaient bien flou !

Milles merci et très bonne soirée.