Gradient , dérivée directionnelle

[invite82983063]

Bonsoir , je me pausais une question sur comment on peut expliquer en admettant l'existence de la dérivée directionnelle pourquoi le gradient correspondait à la pente de plus grande montée ?
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[invitecbade190]

Bonjour,

D'après, l'inégalité de Cauchy - Schwartz :

Si : , ( i.e : si est le gradient : ), alors : , donc, correspond à : , et donc, correspond à la pente de plus grande montée, puisque :

Cordialement.

[invitecbade190]

Pardon, Je tourne en rond ( redondance ), parce que vous ne précisez pas comment vous définissez l'expression : pente de plus grande montée. Qu'est ce que pente de plus grande montée de point de vue mathématiques ?.

[GrisBleu]

bonjour
Pour une fonction d'un vecteur vers un nombre, tu a
f(x+h)~f(x) + h.grad f
Donc pour savoir dans quelle direction f croit, il faut que h soit dans la direction de grad f
Pour le terme de pente, tu peux visualiser ainsi : si x est de dimension 2 et y = f(x) représente la hauteur au point x alors
+ f(x+h)-f(x) represente l'accroissement de hauteur dans la direction de h et donc ||(f(x+h)-f(x))||/||h|| la pente
+ Par le raisonnement du debut, grad f represente la pente la plus importante

Cdlt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

c'est une généralisation de la pente que l'on connaît pour une fonction y=f(x)
dans ce cas : f(x+h)=f(x)+hf'(x)+o(h)
prenons maintenant une fonction de (u,v) ds R par exemple
soit V : (u,v), on aura de même


On a bien un produit scalaire qui indique l'approximation de la variation de F autour de en fct de
Or, le produit scalaire est maximal quand l'angle est nul, ce qui explique que le grad donne bien la direction et le module de la plus grande pente.

[invitecbade190]

représente la pente de au voisinage de .
D'après Cauchy Schwartz : pour tout
Donc, on peut admettre par définition, que la pente de plus grande montée, la quantité : pour laquelle : . ceci n'est possible que si .
en effet : .

[invitecbade190]

Donc, la fonction : est surjective, et admet un maximum global qui est : . non ? Donc : , non ?.