Existe-t-il une formule pour calculer tous les nombres premiers ?

[andretou]

Pour x un nombre entier, les valeurs du sinus sont assez limitées et n'ont pas grand chose à voir avec la géométrie

Peut-on cependant dire qu'il y a un lien entre les nombres premiers et la géométrie, à l'aune de la fonction Zeta d'Euler qui établit une classe d'égalités entre la série harmonique des entiers naturels, le nombre , et le produit des inverses des nombres premiers ?
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[andretou]

Disons que les calculs nécessaires sont tellement longs qu'ils en perdent leur intérêt.

Est-ce à dire que les formules qui donnent les nombres premiers ne seraient finalement que des cribles d'Erathostène améliorés ?
Ou ces formules reposent-elles sur des principes fondamentalement différents ?

[Médiat]

Elles sont plutôt basées sur le théorème de Wilson.

[Deedee81]

Pour info https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...A8me_de_Wilson
Y a même les démonstrations étou étou

[andretou]

Question (que je n'ose pas poser tant elle paraît évidente mais que je pose quand même pour être vraiment sûr car en mathématiques on n'est jamais à l'abri de surprises) : puisque par définition un nombre premier est un nombre qui n'a pour seuls diviseurs que 1 et lui-même, le seul moyen pour déterminer si un nombre p est premier est donc de rechercher ses diviseurs éventuels (par multiplications successives avec le crible, par comparaison entre p et la factorielle de p-1 avec Wilson) ?
Toutes les méthodes, y compris Minác et Willans, Conway, le polynôme à 26 variables ou encore la formule donnée plus haut par PrRou, procèdent-elles de ce principe ?

[invite51d17075]

directement ou indirectement oui, puisque c'est la définition.
pour en revenir à la question initiale.
comme il y a un nb infini de nb premiers, la question de les lister TOUS peut être interprétée de diverses manières.
par exemple si on défini comme le nième nombre premier.
je ne crois pas qu'il existe une formule
si c'est cela qui était indirectement évoqué dans la question initiale.

c'est encore plus tordu pour les "jumeaux" ( autre sujet )

[andretou]

directement ou indirectement oui, puisque c'est la définition.
pour en revenir à la question initiale.
comme il y a un nb infini de nb premiers, la question de les lister TOUS peut être interprétée de diverses manières.
par exemple si on défini comme le nième nombre premier.
je ne crois pas qu'il existe une formule
si c'est cela qui était indirectement évoqué dans la question initiale.

c'est encore plus tordu pour les "jumeaux" ( autre sujet )

Si cette formule existait, ce serait le Graal !
A-t-on démontré que cette formule n'existe pas ?
La résolution de la conjecture de Riemann apporterait-elle une réponse à cette question ?

[invite9dc7b526]

A-t-on démontré que cette formule n'existe pas ?

ça dépend de ce qu'on met dans f. Si f(x) est "le plus petit entier supérieur à x qui..." on doit pouvoir trouver une telle formule. D'ailleurs, puisqu'on sait qu'il y a toujours au moins un nombre premier entre n et 2n, trouver f(n) ne demande qu'un nombre fini d'opérations (fini mais pas borné a priori quand n varie) et j'imagine qu'on peut décrire ces opérations par une "formule" (?)

[Deedee81]

A-t-on démontré que cette formule n'existe pas ?

Elle existe. Voir la formule de Prou_ par exemple.

[andretou]

Elle existe. Voir la formule de Prou_ par exemple.

Tu veux dire que la formule de PrRou_ ne procède ni du crible d'Erathostène, ni du théorème de Wilson ?
Quel est son "principe actif" ?

[Médiat]

Bonjour

ça dépend de ce qu'on met dans f. Si f(x) est "le plus petit entier supérieur à x qui..." on doit pouvoir trouver une telle formule.

Je suppose qu'ici f est supposé être une formule purement algébrique sans aucune variable lié (sans quantificateur).

Sinon, c'est effectivement trop facile :



Où est le prédicat qui dit que x est premier, ce qui s'exprime trivialement par une formule du premier ordre

[Médiat]

Tu veux dire que la formule de PrRou_ ne procède ni du crible d'Erathostène, ni du théorème de Wilson ??

Elle dépend directement du théorème de Wilson

[Deedee81]

Tu veux dire que la formule de PrRou_ ne procède ni du crible d'Erathostène, ni du théorème de Wilson ?
Quel est son "principe actif" ?

Non, je sais pas, faut regarder de plus près (*). Tout ce que je disais c'est qu'une telle fonction existe bien.
EDIT (*) croisement avec Médiat, merci

Et j'en proposais une autre. Tu écris le programme le plus simple possible qui part de (pour un nombre premier supérieur à 2) et qui teste tous les diviseurs inférieur à ce nombre et incrémente jusqu'à trouver le prochain nombre premier. Tu transformes le code itératif en code récursif. Et tu transformes ça en langage formel (voir plus haut, on peut même utiliser des outils tel que le lambda calcul).
Tu obtiens alors une formule qui a une efficacité proche du programme.

Créer de telles formules est donc assez facile. Et ce pour n'importe quel principe de base utilisé pour obtenir les nombres premiers. Mais ça ne dépasse évidemment pas l'efficacité des programmes de génération de nombre premiers !!!!

[andretou]

Elle dépend directement du théorème de Wilson

ok, merci.
Fondamentalement, il n'existe donc pas d'autre méthode pour déterminer les nombres premiers que le crible d'Erathostène et le théorème de Wilson ?

[invitebd98b571]

Bonjour
La formule que j'ai écrite repose sur le théorème de Wilson, clairement. Ce théorème permet de caractériser les nombres premiers.
Le crible d'Eratostène permet aussi de caractériser les nombres premiers.
Tout résultat mathématique caractérisant les nombres premiers pourrait être éventuellement utilisé pour établir des formules de calculs.

[Deedee81]

Salut,

Tout résultat mathématique caractérisant les nombres premiers pourrait être éventuellement utilisé pour établir des formules de calculs.

En espérant ne pas terminer dans les perles . Le petit théorème de Fermat par exemple ?

[andretou]

par exemple si on défini comme le nième nombre premier.
je ne crois pas qu'il existe une formule

Elle existe. Voir la formule de Prou_ par exemple.

La question serait alors : peut-il exister une formule qui donnerait DIRECTEMENT, sans itérations, U(n+1) en fonction de U(n) ?

[Médiat]

Bonjour Deedee,

Oui, c'est possible, mais je ne suis pas volontaire pour m'y atteler car pour caractériser un premier avec ce théorème, il faut tester tous les nombres plus petit que p

[EDIT] La condition est nécessaire et non suffisante (cf. les nombres de Carmichael) ; les tests de primalité basés sur le PTF donne donc une réponse statistique. La réponse est donc "Non" (en tout état de cause il n'est pas suffisant)

[invite046e427d]

Bonjour,

Ce que je trouve de compliqué dans les nombres premiers c'est qu'on arrive pas à se détacher de l'aspect suite, comme si on raisonnait à travers l'ensemble N.
En considérant les nombres premiers comme un ensemble avec peut-être des propriétés différentes de l'ensemble N (je pense à l'addition et la multiplication) il nous reste certes pas grand chose comme outils.
Et, en ayant dit cela, je ne dis pas grand chose.

Cdt.

[Deedee81]

Salut,

Et, en ayant dit cela, je ne dis pas grand chose.

Non, ce que tu disais est intéressant. Peut-être pas pour la question du primo-posteur mais d'une manière plus générale. Etudier l'ensemble des nombres premiers par eux-même est intéressant et n'a pas échappé aux mathématiciens même si c'est sous une forme un peu plus élaborée; par exemple avec les nombres p-adiques https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

Pourquoi pas juste les nombres premiers ? Car ce n'est pas un ensemble dont on peut tirer directement des infos utiles, par exemple cet ensemble muni de l'addition pose un problème car l'addition n'y est pas un loi interne (l'addition de deux premiers supérieurs à 2 n'est pas premier). Et comme souvent en mathématiques on trouve des choses plus intéressantes en généralisant (par exemple, l'analyse sur les réels et les complexes a beaucoup apporté à la théorie des nombres entiers).

[Médiat]

Bonjour

Pourquoi pas juste les nombres premiers ? Car ce n'est pas un ensemble dont on peut tirer directement des infos utiles, par exemple cet ensemble muni de l'addition pose un problème car l'addition n'y est pas un loi interne (l'addition de deux premiers supérieurs à 2 n'est pas premier).

C'est d'ailleurs pour cela que je n'ai pas inclus les nombres premiers dans le document "Ensembles de Nombres"

[invitefd4e7c09]

Bonsoir,
La question de l'ensemble des nombres premiers titillent toujours autant les esprits et même si je n'ai ni la connaissance ni même le savoir concernant l'état d'avancement sur le sujet, j'ai bien compris qu'on en était toujours au même stade ou quasi concernant cette question (en dépit de cette incroyable trouvaille relatée dans le magazine science et vie qui au final (après lecture) me jette au visage plus de sensationnalisme qu'autre chose
En bref nous en sommes toujours au point mort, et si une personne pense avoir trouvé quelque chose de potable qu'il le publie sans jouer de littérature type : "il m 'a semblait une fois ce constat fait que les nombres premiers se mirent à marcher " !

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous .

Le lien est évident et connu, mais comment tu calcules la suite des nombres premiers en utilisant la fonction zêta de Riemann (puisque c'était ça la question, une formule pour calculer tous les nombres premiers) ????
Y a une méthode connue pour faire ça ? A partir des zéros de la fonction peut-être ?

La seul chose que je c'est sur fonction zêta de Riemann et peut être que ça va vous aider sur le point de vue d'analyse complexe et ça été démontrer c'est que tous les nombres premier sont aligner sur une même droite voir aussi si vous avez un peut de temps Le Mystère Des Nombres Premiers .

Cordialement

[Deedee81]

Salut,

La seul chose que je c'est sur fonction zêta de Riemann et peut être que ça va vous aider sur le point de vue d'analyse complexe et ça été démontrer c'est que tous les nombres premier sont aligner sur une même droite voir aussi si vous avez un peut de temps Le Mystère Des Nombres Premiers .

Ce sont les zéros qui sont alignés, pas les nombres premiers. Et même ça, ça reste un conjecture (un million de dollars pour celui qui la démontre, allez les gars, faites fonctionner vos méninges ).

Merci pour la vidéo mais outre que je n'ai pas le temps (je suis au boulot), en plus.... je n'ai pas le son.