Domaines de définition et de continuite

[Wiselan80]

Bonjour , je rencontre une difficulté dans la compréhension d'un cours en effet si j'arrive parfaitement à étudier le domaine de définitions d'une fonction je ne comprend pas comment definir le domaine de continuite de celle ci

Prenons par exemple :
f (x) = racine carré de (x^2 -6x +8) la fonction est definie si ce qu'il y a sous la racine est supérieur ou égale à 0
Mais comprenant ce qu'est la continuité je ne voit pas ce qu'est et comment le calculer le domaine de continuite .

Merci par avance
Bonne journée
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[ansset]

bjr,
si tu connais la définition de la continuité, je ne suis pas sur te répondre convenablement.
mais je te rappelle que par définition une fct est continue en a , si elle l'est à gauche et à droite de a.
Donc rac(x) n'est pas continue en 0 même si elle est définie.
On peut admettre de dire qu'elle est continue à droite de 0.
Mais 0 ne fait pas parti de son domaine de continuité.
A toi de conclure pour ton exercice.
Cdt

[gg0]

Bonjour Wiselan80.

A priori, les fonctions élémentaires sont continues sur leur domaine de définition. De plus, les sommes, produits, quotients (*) de fonctions continues sont des fonctions continues, et la composée de deux fonctions continues est continue. Donc les seuls cas à considérer sont les fonctions discontinues par nature (comme la fonction "partie entière)), il y en a peu, ou par une définition en plusieurs cas, comme la fonction qui vaut 0 si x<0 et sin(x) sinon (on voit qu'elle est continue en 0, donc partout).
Contrairement à Ansset, je dirais que la fonction "racine carrée" est continue en 0 (avant 0 n'est pas à considérer, puisque la fonction n'y est pas définie), conformément à la définition "enseignement supérieur" de la continuité ou à la définition par les limites. Pour savoir quelle est la réponse à donner à ton prof, il faut regarder de près comment il définit la continuité. Il y a là quelques subtilités.
Quelle est ta formation ?

Cordialement.

(*) là où ils sont définis

[anthony_unac]

Bonjour,
Dans me souvenirs, la continuité à gauche et à droite de "a" me parle bien donc je plussoie ansset.
Après gg0 n'a pas vraiment tort lorsqu'il t'invite à voir tout simplement la manière dont ton prof défini la continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

cela semble effectivement accepté dans le supérieur.

[PlaneteF]

Bonjour,

Selon la définition formelle donnée ici dans Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Contin...C3%A9matiques), la fonction racine carrée est bien continue en .

Cordialement

[ansset]

ben justement, un passage de ce même lien :
Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.

perso : rien ne me gène dans l'absolu, juste des lectures différentes de définitions.

[PlaneteF]

En ce qui me concerne quand il y a ambiguité ou contradiction entre une définition formelle et une phrase écrite en langage courant, c'est la définition formelle qui l'emporte sur le texte et qui donc fait foi.

Cordialement

[ansset]

ça me va.
x appartenant à l'intervalle I : [0,+inf[ la démo s'applique et donc la continuité.
mais pourquoi donc ces phrases qui jettent le trouble.

[gg0]

Ansset,

dans le passage que tu cites au message #7, a est à l'intérieur du domaine de définition.

Pour l'instant, attendons que Anthony_unac se manifeste.

Cordialement.

[ansset]

Ansset,

dans le passage que tu cites au message #7, a est à l'intérieur du domaine de définition.

Pour l'instant, attendons que Anthony_unac se manifeste.

Cordialement.

oui, donc devrait s'appliquer pour a=0 dans le cas présent, qui est bien dans le domaine de définition.
or, comme le fait remarquer PlaneteF si on s'en tient à la formulation mathématique sur un intervalle I, la continuité en un point de l'intervalle ne fait appel qu'à des éléments x de I.
( sans tenir compte du fait qu'ils n'en existent que "d'un coté" )
ou bien ai je mal compris ta remarque. ?

[gg0]

Je ne sais pas trop quoi dire ... je ne comprends pas ce que tu dis. Pour moi, a est intérieur au domaine de définition s'il existe un intervalle ]b,c[ contenant a et inclus dans le domaine de définition. Donc 0, pour la racine carrée, n'est pas intérieur au domaine de définition.

Cordialement.

NB : utiliser les notions de continuité à droite ou continuité à gauche pour définir la continuité me semble un peu compliqué.

[anthony_unac]

Du coup, il a fallu que je ressorte le vieux grimoire poussiéreux de ma bibliothèque :

Définition :
Soit une fonction définie sur et
On dit que est continue à droite (resp. à gauche) en lorsque la restriction de à (resp.) est continue en .

Propriété :
Une fonction est continue en si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en .

[PlaneteF]

Définition :
Soit une fonction définie sur et
On dit que est continue à droite (resp. à gauche) en lorsque la restriction de à (resp.) est continue en .

Propriété :
Une fonction est continue en si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en .

Donc tu donnes la définition de la continuité à droite et à gauche qui s'appuie sur la continuité en un point dont tu ne donnes pas la définition. Ensuite tu donnes une caractérisation de la continuité en un point qui s'appuie sur la continuité à gauche et à droite.

Bref, dans cette histoire tu tournes en rond et l'on a toujours pas la définition de la continuité en un point !

Cordialement

[anthony_unac]

sauf que est continue en lorsqu'elle admet une limite réelle en et admet une limite en suivant privé de si et seulement si elle admet en une limite à droite et une limite à gauche, et si ces limites sont les mêmes ce qui n'est pas le cas ici

[PlaneteF]

sauf que est continue en lorsqu'elle admet une limite réelle en et admet une limite en suivant privé de si et seulement si elle admet en une limite à droite et une limite à gauche, et si ces limites sont les mêmes ce qui n'est pas le cas ici

Et on en revient exactement au même débat mais maintenant avec la définition de la limite : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite...C3%A9matiques)

https://fr.wiktionary.org/wiki/tourner_en_rond

Cordialement

[anthony_unac]

Peut être que vous pouvez essayer de comprendre la notion de limite comme quelque chose dont on essaie de se rapprocher et ici en l'occurrence on peut se rapprocher d'un point "a" de deux manières différentes : rapprochement par la gauche ou par la droite.

[anthony_unac]

Un bon petit exercice d'application direct pour comprendre les choses :
Soit une fonction de dans définie par et pour tout
Existe t il une limite en ?

[PlaneteF]

Peut être que vous pouvez essayer de comprendre la notion de limite comme quelque chose dont on essaie de se rapprocher et ici en l'occurrence on peut se rapprocher d'un point "a" de deux manières différentes : rapprochement par la gauche ou par la droite.

Mais la définition formelle est parfaitement claire, je n'y vois aucun problème, et au final c'est bien cette définition qui seule compte.

Cordialement

[PlaneteF]

... et je rajoute pour en revenir à la question initiale :

1) On est quand même bien capable de donner la définition de la continuité de telle sorte qu'elle soit self-contained, et ainsi sans avoir recours à la définition d'une autre notion comme celle de la limite et sans avoir recours à des machins "à droite" et des bidules "à gauche". La définition formelle de Wikipédia pour le coup est limpide et répond parfaitement à ce mini cahier des charges, et selon cette définition la fonction racine carrée est bien continue en 0.

2) Et je rejoins gg0 (nota bene dans son message#12), en m'exprimant à ma façon, les définitions du genre "c'est continue si à gauche bla bla bla, et si au milieu bla bla bla, et si au fond du jardin par temps de brouillard bla, bla bla" , ... ben je n'y vois pas trop de valeur ajoutée.

Cdt

[gg0]

Attention,

tu mélanges deux définitions ici : Celle de la continuité en a (" est continue en lorsqu'elle admet une limite réelle en ") et la notion de limite en a suivant D privé de a, qui n'a rien à voir avec la première.
La fonction racine carrée est continue en 0 car elle admet la limite 0 en 0. Le fait que ce soit une limite à droite n'interdit pas que ce soit la limite en 0 (il n'y a pas de notion de limite à gauche en 0).
En tout cas, il est nécessaire de revenir à la définition de "admet une limite réelle en a" sans passer par des définitions autres.

Cordialement.

[ansset]

ben en fait ggo traduit certainement le sens de la phrase ambiguë sur la "double continuité" nécessaire.
qui ne serait qu'une traduction pour un point de l'intervalle ouvert.
in finé, je trouve le texte explicatif seul très mal fichu.

donc, j'en reviens comme toi à la définition mathématique formelle ( celle commune apprise à tous, reprise par wiki ).
son application ( dans le cas présent ) implique une continuité en 0.

Par défaut, c'est bien la seule à prendre en compte.
Sans compter le fait que nombre d'énoncés seraient totalement farfelus :
par exemple ceux commençant par "soit f continue sur [a,b], telle que ....".

(*) les histoires de continuité à gauche et à droite gardent néanmoins leurs sens dans l'analyse du comportement d'une fonction.

Cdt

[PlaneteF]

Bonjour,

Je pense que ce serait bien de préciser à qui l'on s'adresse soit par une citation soit en le mettant explicitement car sinon en première lecture cela peut parfois être confus :

Attention,

tu mélanges deux définitions ici :

Manifestement tu t'adresses à anthony_unmac.

donc, j'en reviens comme toi à la définition mathématique formelle ( celle commune apprise à tous, reprise par wiki ).

Je suppose que cela s'adresse à moi-même ... ou pas !?

Sinon,

(*) les histoires de continuité à gauche et à droite gardent néanmoins leurs sens dans l'analyse du comportement d'une fonction.

Entièrement d'accord avec toi (j'ai mis ta citation donc on sait à qui je m'adresse ), je parlais d'éviter ce distinguo uniquement pour la définition même, ensuite on peut envisager toutes les caractérisations intéressantes.


Cordialement

[ansset]

Je suppose que cela s'adresse à moi-même.

oui,
en général , j'essaye soit de citer ( mais là il s'agissait de référer à ta remarque globale ), ou bien de commencer par :
"à PlanèteF:".
Il m'arrive d'oublier, et aussi comme tous de poster quasi en même temps que d'autres.
le soucis général est qu'en phase d'écriture , on ne peut savoir si un mess a été posté entre temps.
et si on ne vérifie pas après postage avec un Edit, on peut créer de la confusion.
Peut être qu'une nouvelle version du forum aiderai sur ce point.
Cdt

ps : c'est encore parfois pire avec les interventions des modérateurs qui ( ayant plus de temps ) peuvent émettre des mess qui semblent anti-datés.
invisible au début, et qui apparaissent comme antérieurs après coup.

[PlaneteF]

Peut être qu'une nouvelle version du forum aiderai sur ce point.

Justement il me semble qu'une nouvelle version arrive très prochainement !?

Cdt

[Médiat]

Bonjour,

La continuité à gauche d'une fonction qui n'est pas définie à gauche n'a pas beaucoup de sens, c'est un peu le même problème que :

Je considère IR muni de sa topologie usuelle, [0, 1[ n'est ni ouvert ni fermé pour cette topologie,

Si je considère IR⁺ muni de la topologie héritée de IR, alors [0, 1[ est un ouvert de cette topologie.

Quand on a compris ce petit détail la question de la continuité est triviale.

[gg0]

Salut PlaneteF et Ansset : mon dernier message s'adressait bien à Anthony_unac, comme le contenu le laisse voir. Comme j'étais court en temps ce matin, je n'ai pas vu les vôtres. Désolé.
Et on attend toujours sa définition de la continuité ... et celle de limite si la continuité utilise cette notion. Sa question du message #18 nécessite cette définition (même si la réponse "non continue" est la seule raisonnable).

Cordialement.