Bonjour,

je me suis posé un petite question, à quoi ressemble la fonction définie sur par .

Si on note l'ensemble des nombres premiers et la partie entière, sans trop de complications on peut trouver que pour tout entier n on a .

J'ai donc tracé cette fonction qui crois très rapidement et par palier, c'est à dire si n est la puissance k-ième, d'un nombre premier p, c'est à dire , sinon . Au vue de cette croissance exponentielle, j'ai donc tracé la fonction et j'ai donc remarqué que la courbe de la fonction g semblait osciller étrangement autour de la droite d'équation y=x, et au vu de son écrat, il y a de fortes chances que .

Je me demande alors pourquoi serait-elle équivalente à n. Cela aurait-il un lien avec le théorème des nombres premiers? C'est à dire que le nombre de premiers inférieurs à n, noté équivaut à ?

Surtout que

Donc si ces inégalités ne sont pas trop abusives, on devrait avoir quelque chose comme (je ne mets pas d'équivalent mais un "environ égal") et comme d'après mes remarques on a on peut se douter que et donc (oui ces quelques lignes manquent clairement de rigueur, j'en suis conscient).

Ce qui m'intéresserait alors serait plutôt de remonter ces affirmations, partir de et arriver à , je pense qu'il ne doit pas y avoir trop de problèmes au vu du fait que et que ma majoration de g(n) tiens sur ce remplacement de valeur absolue. Mais bon, cela fait quelque temps que je n'ai pas utilisé d'équivalent, que je sais qu'il y a quelques pièges dans lesquels il ne faut pas tomber avec leur utilisation...

Donc si une âme charitable souhaitait vérifier mes arguments, ce serait sympathique de sa part!

Merci, RoBeRTo.