Comutant d'une matrice ...

[invite0f31cf4c]

Bonjour,
J'ai encore une petite question qui me taraude à propos, cette fois-ci, du comutant d'une matrice.
J'ai bien compris la diagonalisabilité et tout ce qui va avec ... Sauf ça. J'ai absolument pas compris comment on l'utilisait pour trouver le comutant d'une matrice ... Donc si quelqu'un peut m'expliquer, merci d'avance !
++ !
L.S.
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[invite8b04eba7]

Salut,

Ce que tu cherches, c'est le commutant d'une matrice diagonalisable ?

Raisonnons avec les endomorphismes : si tu as un tel endomorphisme, tu peux décomposer en somme directe de sous-espaces propres. Puisque ces sous-espaces sont, à peu de chose près, des noyaux de f, tout endomorphisme qui commute à f va stabiliser ces espaces, et induire un endomorphisme sur chaque espace : si tu fixes une base de vecteurs propres, la matrice de cette endomorphisme est alors diagonale par blocs.

Réciproquement, si un endomorphisme g stabilise les espaces propres, alors le noyau de va contenir tous ces espaces, donc entier.

Je te laisse mettre en forme la conclusion, c'est à dire expliciter le commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Si tu veux calculer le commutant d'une matrice non diagonalisable, c'est bien plus compliqué. Tu peux faire par une méthode calculatoire après avoir mis ta matrice sous forme de Jordan, ou bien tu peux utiliser la théorie des K[X] modules, très abstraite. En gros, d'après mes vagues souvenirs, tirés d'Algebra, de Jacobson :

Tu considères un endomorphisme f définit sur un K-ev V.
Alors, tu peux munir V d'une structure de K[X] module par

(Remarque : P(f) est un endomorphisme)
Ensuite, il suffit de remarquer que g est dans le commutant de f ssi g est dans le commutant de tous les polynômes en f. On en déduit que g est dans le commutant de f ssi g est un endomorphisme de V compatible avec la structure de K[X] module. Après ça, le théorème de Cayley Hamilton te dit qu'il s'agit d'un K[X] module de torsion de type fini (cf les polynômes caractéristiques et le théorème de structure des A modules, pour A anneau principal), et donc juste en regardant la matrice de g sur le K[X] module V, on arrive à déterminer une CNS qui permet de compter exactement la dimension du commutant en fonction du degré des polynômes caractéristiques.

Bon, j'aurai besoin d'un papier pour refaire ça proprement, alors, si vous êtes intéressés, vous me le dites, et j'envisagerai de vous donner la preuve précisément.

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rvz, pour une grosse trashitude d'agreg