Bonjour,
J'ai du mal à comprendre un truc sur l'anneau Z/nZ...
On dit que le cardinal vaut n, ça voudrait dire que la dimension de chaque classe d'équivalence de 0 barre etc vaut 1.
Mais quelles sont les valeurs de Z que peut prendre la classe d'équivalence de 1 barre :
Je peux prendre : -5,0,5,10,15 etc .... donc y a plusieurs nombres possibles ...
Y a un truc qui m'échappe ?
Il y a des choses qui t'échappent en effet.
Tu as deux façons de concevoir Z/nZ. La première, c'est de considérer que c'est l'ensemble des classes d'équivalences modulo la relation x R y ssi n divise x-y. Dans cette conception un élément de Z/nZ est une classe d'équivalence, donc un ensemble (infini) et on lui donne par commodité le nom d'un de ses élements (par exemple 0 est le nom de la classe qui contient 0).
Dans la deuxième conception, Z/nZ est un ensemble "abstrait" à n éléments qui, joint à la surjection Z -> Z/nZ constitue la solution d'un "problème universel". Je ne peux pas développer, ça me prendrait trop de temps, mais tu peux trouver par toi-même je pense. Là on note encore 0 l'image par la surjection canonique de la classe de 0.
La différence entre les deux conceptions est très mince en fait. Dans tous les cas, on pourrait noter n au lieu de 0 le même élément de Z/nZ
Je ne comprends pas bien ce que tu dis : qu'est-ce que la dimension d'une classe d'équivalence pour toi?
Sinon la phrase : "Mais quelles sont les valeurs de Z que peut prendre la classe d'équivalence de 1 barre" n'a pas de sens.
"1 barre" ne prend pas de valeur, c'est un ensemble qui est défini comme l'ensemble des entiers (relatifs) en relation avec 1 (avec la relation d'équivalence que tu connais).
Z/5Z est donc un ensemble qui contient 5 éléments qui eux-mêmes sont des ensembles donc son cardinal vaut bien 5.
De plus, la classe d'équivalence ne dépend pas du représentant choisi. C'est ce que tu évoques de façon confuse dans ta phrase
"Je peux prendre : -5,0,5,10,15 etc .... donc y a plusieurs nombres possibles ...". Il faut ici comprendre que dans Z/5Z, 0 barre=5 barre=-5 barre=10 barre etc..(le signe = est une égalité ensembliste bien sûr).
En espérant t'avoir éclairé.
EDIT: minushabens a été plus rapide, sa réponse est sans doute meilleur, je n'ai qu'un niveau math spé
Mehdi128,
tu écris un ensemble à 5 éléments :
donc il a bien 5 éléments, quoi que soient par ailleurs ces éléments.
Ne complique pas ce qui est simple, prends-le tels que c'est.
Cordialement.
Bonjour,
@mehdi_128,
Bien distingueret
Exemples :
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 31/12/2016 à 12h04.
