Probabilités: Théorème de Bayes

[invitefc0ac5d9]

Bonjour à tous!

Je suis actuellement des cours de probas en fac de médecine et en amphi les explications sont malheureusement très succinctes.

En effet le professeur nous a exposé le théorème de Bayes en introduisant l'exemple du diagnostic du SIDA avec l'évènement A "le test est positif" , M "individu malade" et NM "individu non malade"

P(A/M)=0,990
P(A/NM)=0,008
P(M)=0,001
P(NM)=0,999

Je dois donc calculer P(M/A)

(Edit notation: proba conditionnelle, M/A : M sachant A réalisé)

Première question:

De par mes souvenirs de Terminale j'ai voulu construire un arbre, et là premier doute: comment savoir si sur le premier embranchement je place l'evenement (M et NM) ou (A et Ā)?

Deuxième question:

En partant du principe de l'arbre (mais je me trompe quelque part visiblement), ne peut on pas calculer simplement P(M inter A) (ou P(A inter M) selon le bon arbre)? Sinon pourquoi utiliser le théorème de Bayes? Est-ce uniquement par contrainte de données?

Je vous remercie!!

Bonne soirée et bonne année
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[Verdurin]

Bonsoir,
je te conseille de faire un tableau du genre



P(A|M)=0,990 se traduit alors par r/0.001=0.99 d'où r=0.00099 et s=0.001-0.00099
P(A|nM)=0,008 se traduit par t/0.999=0.008 d'où t=0.999*0.008 et u=0.999-t.

Ensuite on a x=r+t et P(M|A)=r/x.

On peut bien entendu faire ça de façon plus prétentieuse, mais ce n'est pas vraiment utile.

Bonne année 2017.

[gg0]

Bonjour Aerosnop.

Le théorème de Bayes permet d'avoir en une seule étape ce qui se construit en deux avec les définitions et le théorème des probabilités totales.
Dans ton cas, avec ou sans arbre, on veut calculer P(M/A)=P(M et A)/P(A)
Définition des probabilités conditionnelles : P(M et A)=P(M/A)*P(A)=P(A/M)*P(M) : la première égalité n'est que la reprise du calcul à faire, mais la deuxième nous donne P(A)=0.99*0.01=0.0099
Reste à trouver P(A), là ton arbre, construit avec des branches qui sont de probas connues (donc on part de probabilités connues, puis on peut rajouter des branches si on a les probas conditionnelles convenables), ou bien simplement la formule des probabilités totales (pourquoi perdre du temps à écrire l'arbre ?) donnent :
P(A)=P(A/M)P(M)+P(A/NM)P(NM)=0.0099+0.008*0.999=.0 17892
Ne reste plus qu'à finir : P(M/A)=0.0099/.017892

La formule de Bayes donne ici :
P(M/A)=P(A/M)P(M) / [P(A/M)P(M)+P(A/NM)P(NM)]
Donc fait exactement les mêmes calculs en une seule ligne.

Pour ta deuxième question, tu peux remarque que mon calcul en deux étapes et la formule de Bayes calcules tous les deux P(M et A), donc que ta question montre simplement que tu n'as pas vu d'où sort cette formule de Bayes.
NB : A inter M et M inter A, c'est la même chose !!

Cordialement.

PS : Peut-être aller lire un livre de probas te rendrait-il service.