Nombre de diviseur d'un entier

[invite03ef28af]

Bonjour,
voici le probleme qui m'est posé:
soient m,n dans N*, tels que pgcd(m,n)=1
soit f: D+(m)xD+(n) -----> D+(mn)
(k,l) -----------> kl
montrer que f est bijective ( en admettant que card(D+(m))*Card(D+(n))=card(D +(mn))
j'ai montré que l'application etait bien definie,
Cependant je ne vois pas du tout comment montrer la bijection ( exhiber une application reciproque peut etre ?). J'ai pensé a utiliser la decompostion en facteurs premiers mais je ne vois pas ou ca peut me mener.
Merci de m'eclairer
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[invite51d17075]

bonjour,
qu'est ce que D ?
ps : il ne manquerait pas des parenthèses dans la définition de f ?

[invite03ef28af]

Pardon j'ai oublié de definir D+:
D+(n) : L'ensemble des diviseurs positifs de n
non je ne crois pas qu'il manque des paranthses
merci

[gg0]

Bonjour.

Une technique classique est de prouver que f est injective et surjective.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03ef28af]

Une fois l'injectivité prouvée,
l'egalité des cardinals (admise) nous donne immédiatement la surjectivité n'est-ce pas ?
merci

[invite03ef28af]

voila comment je prouve l'injectivité :
Soient (k1,l1), (k2,l2) dans D+(m)*D+(n)
Supposons f((k1,l1))=f((k2,l2))
ie k1l1=k2l2
donc k1 divise l2k2
or pgcd(m,n)=1
donc pgcd(k1,l2)=1
donc (Gauss)
k1 divise k2
on montre de meme que k2 divise k1
enfin comme k1=k2 sont differents de 0
l1=l2
donc f est injective
est-ce faux, y a t il une erreur de raisonnement
merci

[gg0]

"or pgcd(m,n)=1
donc pgcd(k1,l2)=1" Quelle règle appliques-tu ? Je n'en vois pas.

[invite03ef28af]

J'ai en effet confondu entiers premiers entre eux et non divisibilité d'un entier par un autre.
La piste de la decomposition etait elle alors plus judicieuse ?
Merci

[gg0]

Non,

mais il est facile de démontrer que k1 et l2 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 en utilisant pgcd(m,n)=1. Par contraposition ("par l'absurde" dit-on souvent)

[invite03ef28af]

d'accord je comprends,
je dois donc le prouver avant de l'avancer.
Cela va de soit.
Merci beaucoup,
Le caractere de surjectivité est il alors induit par l'injectivité la propriété admise cité plus haut ?
merci

[gg0]

A priori, si tu sais que deux ensembles finis E et F ont le même nombre d'éléments, et que f : E --> F est une injection de l'un dans l'autre, comme f(E) est une partie de F qui a le même nombre d'éléments que E, donc que F, f est surjective.
Ici, as-tu la preuve que D+(m)xD+(n) et D+(mn) ont le même nombre d'éléments ? Ou bien f va-t-elle servir à le prouver ?

Cordialement.