Suite de fonctions

[Gumus07]

Bonjour,
En lisant le cours sur les suites de fonctions définies sur à valeurs complexes, j'ai trouvé un théorème qu'on appelle le critère de Cauchy uniforme qui dit que:
"Pour que converge uniformément sur il faut et il suffit qu'elle soit uniformément de Cauchy sur ."
et je me suis posé la question suivante:
"Si cette suite de fonctions converge simplement, peut on dire qu'elle est de Cauchy simplement"?
J'ai essayé de refaire la mème preuve, et la seule différence qui soit c'est l'indice qui dépendra du point , est ce que ma réflexion est juste?
Merci pour votre aide.
Cordialement.
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Oui tu peux le dire, mais c'est un peu maladroit, parce qu'etre "simplement de cauchy" c'est etre de cauchy en chaque point, et ca n'est pas un cas particulier de la notion generale de suite de cauchy dans un espace métrique.

[Gumus07]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Oui c'est ça, elle est ce Cauchy en chaque point. Mais je n'ai pas compris votre remarque?

[invite47ecce17]

Etre uniformément de Cauchy, ca veut dire etre de Cauchy pour la norme uniforme, c'est un cas particulier de la notion generale de suite de Cauchy dans un espace métrique.
Etre "simplement de Cauchy" ca n'est pas un cas particulier de suite de Cauchy.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gumus07]

C'est OK, j'ai compris.
Dans un exercice je viens de montrer qu'une suite de fonctions est de Cauchy pour chaque point "x" de "R", donc j'affirme facilement que cette suite de fonctions converge en chaque point "x" vers une certaine fonction .
Je vous remercie de m'avoir répondu.
Bonne journée.