J'ai un examen d'algebre d'ici peu. J'ai un temoin des années précédentes mais pas la correction. Pour m’entraîner je l'ai quand même fait, or je n'ai aucun idée de mes erreurs. Quelqu’un ayant le niveau suffisant peut établir une correction. Je vous en serai très très reconnaissant.
Sujet: Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K, de dimension finie. On considère
une application linéaire f de E dans F.
(a) Donner la définition de Ker(f) et montrer que Ker(f) est un espace vectoriel.
(b) Énoncer la formule du rang appliquée à f ( f est une application linéaire de E
de dimension p dans F qui est de dimension n).
(2) On note (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4, et (f1, f2, f3) la base canonique de R3
. Soit f : R4 → R3
l’application linéaire telle que :
f(e1) = f1 + f2 − f3
f(e2) = −f1 + f2 + f3
f(e3) = f1 − 2f2 + f3
f(e4) = f1 + f3
(a) Rappeler la définition de Im(f). Que peut-on en déduire sur le rang de f ? Et
sur la dimension de Ker(f) ?
(b) Calculer f(e1) + f(e2) + f(e3). Donner alors un élément non nul de Ker(f).
(c) Écrire la matrice de f relativement aux bases canoniques de R4et de R3
(d) Déterminer le rang de f, et une base de Im(f).
(e) En déduire la dimension de Ker(f) et en donner une base.
Merci bien cordialement
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