bonjour
j ai deux espaces de Hilbert H1 et H2 de dimensions non finies.
je considere l ensemble V des applications lineaires du premier dans le second dont l image est de
dimension finie. cet ensemble est un espace vectoriel. je le munis ainsi d un produit scalaire
<A,B> = Tr (A*B) on a une norme associee qui est inferieure a l infini sur V.
je considere le complete V' de V pour cette norme
certains elements de V' sont des applications de rang infini. leur norme est elle finie?
A priori, si tu utilises la technique de complétion usuelle, les éléments de V' ne sont pas des applications. V' est vu comme espace quotient de l'ensemble des suites de Cauchy dans V par une certaine relation d'équivalence. On peut le munir d'une structure d'espace de Hilbert mais ça ne dit pas que ses éléments sont des applications de H1 dans H2. Donc je suppose que tu utilises une autre construction, mais laquelle?
mais V est un ensemble d applications
Quelques precisions.
j essaie de comprendre la definition du produit tensoriel de 2 espaces de Hilbert que donne Wald dans un
livre en anglais.
d abord le titre l espace vectoriel qui contient les sev est L(H1,H2) des app lineaires
il n est pas muni a la base d un produit scalaire.
V en est un sous espace vectoriel qu on munit d un produit scalaire. dans sa definition j ai mis un *
mais dans le livre c est le signe \dagger des adjoints.
V' est son complété.
je me demande si le produit scalaire est bien defini sur V' (pas infini)
Wald ecrit ensuite que par definition c est le produit tensoriel de H1 et H2
V est dense dans son complété (ça fait partie de la définition de la complétion) et donc on peut étendre les opérations (addition et multiplication externe) et le produit scalaire par continuité.
comment prouver la finitude du produit par passage a la limite?
le produit scalaire est forcément fini, je ne comprends pas ta question.
j ai trouvé ceci qui est en rapport mais on y parle d operateurs bornés.
je ne sais pas si les A de Wald le sont ils sont "linear" et "with finite range"
on a defini un produit scalaire donc une norme sur V qu est ce qui prouve que tout vecteur de V' est de norme finieEnvoyé par minushabens
conmme ceux de V?
il n'y a pas de vecteurs de norme infinie dans un espace vectoriel normé. Le fait que la norme de V se prolonge à V' vient du fait que V est dense dans V' et que l'application norme est uniformément continue.
Bah, si tu as un élément v' de V', et une suite v_n d'éléments de V qui tend vers v, ta suite des normes n'est elle pas de Cauchy?
Je le fais proprement :
Soit epsilon > 0, il existe m>n>0 tel que
|| v_n - v_m || < epsilon
Mais
|| v_m || < || v_m + v_n - v_m || + || v_m - v_n || = || v_n || + ||v_m - v_n ||
Et, de la même façon,
|| v_n || < || v_n + v_m - v_n || + || v_n - v_m || = || v_m || + ||v_n - v_m ||
On en déduit alors
| || v_n || - ||v_m|| | < ||v_n - v_m || < epsilon
Donc la suite des normes des v_n est de Cauchy donc converge vers un réel a. On pose alors || v || = a (et on montre que ce a ne dépend pas des représentants choisis)
Y a t'il quelque chose q
merci
ca vient de faire tilt je n avais plus en tete que le completé est une classe d equivalence de suites de
Cauchy. ca vous paraissait sans doute évident. mais sans ca vos demos ne me parlaient pas.
