Bonjour,
J’ai un petit soucis concernant un exercice que voici :
On suppose A une matrice carré nilpotente, soit M une matrice telle que AM=MA Montrer que AM est nilpotente.
Je dois donc montrer que (AM)^k = 0
Je ne vois pas trop par où partir sauf à multiplier «*brutalement*»MA par AM k fois. J’ai pensé à un raisonnement par récurrence mais bon...
Merci d’avance !
Comme A et M commutent, on a que :
(AM)^k = M^k A^k
Et le résultat est alors immédiat
Merci, je n’avais pas envisagé cette solution. Effectivement c’est immédiat.
Dans la suite on me demande d’en déduire que ker G est inclus dans ker T
Avec G qui va de Mn(R) dans Mn(R) et qui a M associe AM-MA .
Et T qui va de Mn(R) dans R et à qui M associé Tr(AM).
Je suis reparti de la définition du noyau d’une Application linéaire donc en cherchant
G(0)= AM-MA = matrice nulle
Et T(0) = Tr(AM) = 0 ( qui est immédiat car trace d’une matrice nilpotente)
Je pourrais donc dire que ker(G) étant toute la matrice nulle sa trace est nulle ?
Merci d’avance
Pas du tout. Et le fait que tu écrives G(0) et T(0) pour calculer le noyau de G et de T me fait un peu peur...
Rappel :
Ker(G) est l'ensemble des matrices M telles que G(M) = 0.
C'est à dire, l'ensemble des matrices M telles que AM = MA
En particulier G(I) = AI-IA = A-A = 0, donc l'identité appartient au noyau de G
Par contre, si M appartient à Ker(G), alors G(M) = 0, ce qui implique que AM = MA
Donc d'après ce qui précède, si M appartient à Ker(G), alors AM est nilpotente, d'où la trace nulle (à condition d'avoir ce théorème dans sa boite à outil)
Oui j’ai mal écrit ce que je voulais dire mais c’est bien les traces nulles et les matrices AM-MA nulle qui constituent les noyaux, en écrivant ma question j’ai compris ce que je devais faire j’ai donc rédigé ainsi
Comme Ker(T) contient uniquement les traces nulles de matrice AM, et que Ker(G) ne contient que des matrices nulles, les matrices nulles ayant une trace nulle alors ker(G) est inclus dans ker (T) en résumant
Ker(G) ne contient pas que les matrices nulles... Tu as lu mon message ?
curieuse expression...Envoyé par Mahny
