équations différentielles et l'ensemble fondamental

[invite6b792d30]

La question c'est: Est ce que toute équation différentielle a un ensemble fondamental?

J'ai fait des petits recherches et j'ai trouvé sur wikipedia "Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension 2. Dès lors, résoudre l'équation différentielle revient à exhiber deux fonctions solutions non proportionnelles : elles formeront une base de l'espace S de solutions. Une telle base est appelée système fondamental de solutions."

Si c'est ne pas le cas pour une équation de la forme y''+b(x)y'+a(x)=0
pouvez vous me donner un exemple où une telle fonction n'a pas d'ensemble fondamental?
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[invite6b792d30]

Je voulais écrire y''+b(x)y'+a(x)y=0 je m'excuse.

[invite9dc7b526]

Les solutions des équations différentielles linéaires forment toujours un sous-espace vectoriel de l'espace de fonctions dans lequel on les cherche, et tout espace vectoriel admet une base, donc il n'existe pas d'exemple d'équation différentielle linéaire sans système fondamental de solutions.

[invite6b792d30]

@minushabens merci. Vous savez où je peux trouver une démonstration de cela?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

J'ai fait des petits recherches et j'ai trouvé sur wikipedia "Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension 2.

c'est dans le cadre d'équa diff du second ordre.
Plus l'ordre augmente , plus le nb de dimension augmente potentiellement

[invite23cdddab]

@minushabens merci. Vous savez où je peux trouver une démonstration de cela?

Il suffit d'appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz non plus à , mais à

On pose ,

et alors , avec

On applique alors Cauchy-Lipschitz, qui nous dit qu'il existe une et une seule solution maximale à cette équation, vérifiant


Donc en particulier, on a un isomorphisme entre et l'ensemble des solutions de l'équation.

Ce qui s'étend très facilement à n'importe quel orbre

[invite6b792d30]

Merci pour vos explications