Diagonale triangle de Pascal, valeur exacte des cosinus

[invited1ed38da]

Bonsoir,

Voilà j'aimerais savoir simplement comment l'on établit que les racines du polynome dont les coefficients alternés sont donnés par la diagonale du triangle de Pascal, valent :



Je ne cherche pas forcément une démo, juste dans quel domaine je dois me renseigner et étudier je n'arrive vraiment pas à trouver d'où cette égalité vient.
Merci d'avance et bonne soirée!
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[invite9dc7b526]

c'est quoi la diagonale d'un triangle?

[invited1ed38da]

Haha bien envoyé!

En fait je voulais parler de la méthode pour calculer les valeurs exactes de comme racines du polynôme dont les coefficients sont donné par le triangle de Pascal. Par exemple :
n = 1 : 1
n = 2 : 1 1
n = 3 : 1 2 1
n = 4 : 1 3 3 1
n = 5 : 1 4 6 4 1

Pour calculer la valeur exacte de , on utilise les coefficients alternés de la "diagonale" qui part de la 5ème ligne, on obtient le polynôme . Les racines de ce polynôme sont et . Il semble qu'il soit connu que , ce qui permet d'obtenir ici

[invite9dc7b526]

Il y a forcément un rapport avec les polynômes cyclotomiques, mais je ne vois pas lequel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

Merci pour ta réponse
En poursuivant mes balades sur le net j'ai vu qu'il y avait un lien avec les polynômes de Tchebychev :
, ou sur l'intervalle
La relation de récurrence suivante : permet de trouver tous ces polynômes qui auraient les propriétés suivantes :

est de degré
admet n racines simples :
admet extrema : ,

Par contre j'ai perdu le lien avec le triangle de Pascal..