Ensemble ouvert et fermé

[invite31ec19e3]

Bonjour !

Je me suis posé la question en faisant mes exercices mais je n'ai pas réussi à trouver dans mon cours si c'était vrai, donc je pose la question. Est ce que cette propriété est vraie ?

Soit

Si est fermé (respectivement ouvert), alors E est fermé (respectivement ouvert).

Ca a l'air de bien se démontrer par récurrence et elle se vérifie dans mes exemples.

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite23cdddab]

Ta définition de E n'est pas très claire.

Est ce que c'est :



(dans ce cas, ta propriété est vraie)

Ou est-ce que l'on a simplement



(dans ce cas, c'est faux)

Si on est bien dans le premier cas, il y a plein de façon de le montrer.

Une façon que j'aime bien :

On note la projection sur la coordonnées i :



C'est une application linéaire, et comme on est en dimension finie, elle est donc continue.


Maintenant, on a



Mais comme les sont fermés (resp. ouverts), et que p_i est continues, les p_i^{-1} (F_i) sont fermés (resp. ouvert), et une intersection finie de fermés est un fermé (resp. ouvert), donc E est fermé (resp. ouvert)

[invite31ec19e3]

Je parlais bien de la première définition donnée ()

Merci beaucoup pour la rapidité et la qualité de la réponse !!!