étude de concavité

[miido]

Bonjour, voici un exercice:

Soit la fonction f définie par .
Où et sont des réels non nuls. Soit . On admet que A est ouvert.

Etudier la concavité (ou la convexité ) de sur en discutant suivant les valeurs de et .

voilà ce que j'ai trouvé :

Le cas remarquons que est convexe donc f est convexe.

Après les calculs du déterminant de la matrice hessienne je trouve :



cette déterminant est de signe de

Donc :

-Si et et alors et donc est convexe

-si et et alors et donc est ni concave ni convexe

-Même analyse dans le cas de et

-si et est du signe de donc ce cas si alors est ni concave ni convexe , et si alors et donc est concave.

Est-ce que j’ai commis une erreur dans cette analyse
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[ansset]

Quand le Det(H) est <0 , on peut conclure à "priori", mais cela ne suffit pas pour affirmer qu'elle n'est ni concave ni convexe.
je prend par exemple ton cas

par exemple
la fonction est f(x,y)=x²y^​2 qui est bien convexe.

[miido]

Bonjour,

Dans ton cas det (H)<0 car

Est que la fonction est convexe quand det (H)<0  ? va lire le cours.

[ansset]

est ce x²y² n'est pas convexe ? et pourtant le Det est négatif.
encore une fois un déterminant positif permet de conclure.
un déterminant négatif non. la fonction peut être concave, convexe, ou aucun des deux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[miido]

En aucun cas un déterminant négatif ne permet de conclure que la fonction est convexe ou concave, car dans ce cas la matrice hessienne est indéfinie, c’est-à-dire ni semi-définie positive ni semi-définie négative.

Ta fonction n’est ni convexe ni concave et pour être sur je viens de la dessiné sur la calculatrice.

En mathématique on ne vient pas comme cela et dire tienne cette fonction est convexe, il faut le prouvé monsieur.

[gg0]

Bonjour Miido.

Peux-tu nous faire une copie de ce que tu as obtenu comme surface ? car celle que j'obtiens avec Maple semble tout à fait convexe :



Cordialement.

[miido]

Bonjour,

Tu es sûr que cette surface est convexe ?

Connais-tu la définition d’une surface convexe ou concave ?

Je le répète pour la n-ème fois, prouvez-moi analytiquement que la fonction est convexe.

[gg0]

Quelle est ta définition de fonction convexe ? Bien entendu, pour une fonction de dans .

Comme tu sembles t'être engagé dans une épreuve de force, je n'ai pas trop envie de m'en mêler, si tes arguments sont du genre "je viens de la dessiné (sic) sur la calculatrice". Je me suis contenté de faire de même.

[ansset]

j'ai bien des démos à lui proposer, mais compte tenu de la tonalité des messages, je préfère m'abstenir.
et je réitère , quand le Det(H) est negatif, On ne peut conclure, c_a_d qu'on ne peut conclure qu'elle n'est ni convexe ni concave, contrairement à ce qui est dit.
Il faut prendre d'autres approches comme la recherche d'extrêma et le comportement de la courbe.
Ou bien en regardant la position de la courbe par rapport à ses plans tangents.
J'en ai assez dit.

Enfin, l'énoncé initial suppose que l'on s'intéresse au domaine reduit ( x>0 et y>0 ) donc certains autres cas de figure qui semble incertains ( ou objectivement ni concave ni convexe sur R² ) ne le sont plus sur les réels uniquement positifs.

bref, bon courage et bonne note pour ton exercice !