Équation différentielle avec la méthode Physique ?

[invite5469eba7]

Bonsoir,

Je voulais savoir, est-ce que pour résoudre les équations différentielles en Mathématiques avec la "méthode" physique c'est accepté ? Car j'ai vu que la méthode Physique à l'aide d'un simple moyen mnémotechnique est beaucoup plus rapide à appliqué. Pour la solution homogène c'est la même chose dans les deux situations, c'est plus pour la solution particulière que ça aide et que c'est plus rapide.

La solution maths ce serait par exemple Eo : y' - a(x)y = 0
Solution homogène { ke^A(x) ; k € R} avec A(x) une primitive de a
Solution particulière f'(x)-a(x)f(x) = b(x)
Solution générale {Solution particulière + homogène}

Edit : Je vous envoie la méthode mnémotechnique Physique tout à l'heure à la suite du sujet, je cherche le polycopié


Merci,
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[invite5469eba7]

Voici ce que j'appelle la "méthode" physique :

Équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficient constants, cas homogène : dN(t)/dt + λN(t) = 0

Solution générale : N(t) = Ae^(-λt)

Équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficient constants, cas avec second membre : dN(t)/dt + λN(t) = k

Solution générale : N(t) = k/λ + Ae^(-λt)

Équation différentielle du second ordre linéaire à coefficient constants, cas homogène: d²N(t)/dt² + uN(t) = 0

Si u > 0 : on pose u = w²
Solution générale : N(t) = Acos(wt) + Bsin(wt) avec A et B deux constante indéterminées
Si u < 0 : on pose u = -w²
Solution générale : N(t) = Ae^(wt) + Be^(-wt) avec A et B deux constante indéterminées

Équation différentielle du second ordre linéaire à coefficient constants : d²N(t)/dt² + uN(t) = k

Si u > 0 : on pose u = w²
Solution générale : N(t) = k/u + Acos(wt) + Bsin(wt) avec A et B deux constante indéterminées
Si u < 0 : on pose u = -w²
Solution générale : N(t) = k/u + Ae^(wt) + Be^(-wt) avec A et B deux constante indéterminées

[gg0]

Bonjour.

Ce que tu appelles la "méthode physique", ce sont des cas particuliers d'équations différentielles. Suivant le niveau où tu es (apprentissage de base, ou utilisateur depuis des années), on te demandera en maths de justifier, ou seulement de donner la solution. Dans le deuxième cas (utilisateur confirmé), si tu te trompes, ce sera irrémédiable.

Cordialement.

[invite5469eba7]

Pour l'equation différentielle : y'-2y = e^(2x) je bloque avec la méthode de variation de la constante

Je passe quelques détails, Solution de l'équation homogène = {ke^(2x) avec k £ R}

Pour la solution particulière avec MVC : yp(x) = k(x)e^(2x)

Je dérive : yp'(x) = k'(x)2e^(2x) + k(x)a(x)e^(2x)

Après : k'(x)2e^(2x) + k(x)a(x)e^(2x) - a(x)k(x)e^(2x) = e^(2x) [On simplifie]

k'(x)2e^(2x) = e^(2x)
k'(x) = e^(2x) / 2e^(2x)
k'(x) = 1 / 2

On primitive : k(x) = x / 2

On injecte : yp = (x / 2) * e^(2x) = e^(2x)*x / 2

S = {ke^(2x) + e^(2x) *x /2}

Problème : Je ne dois pas trouver e^(2x) *x /2 à la solution particulière, mais seulement e^(2x) *x

...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Je dérive : yp'(x) = k'(x)2e^(2x) + k(x)a(x)e^(2x)

d'où sort ton a(x) ???
soit y(x)=k(x)e^(2x)
y'(x)= k'(x)e^(2x) +2k(x)e^(2x)
y'(x)-2y(x)=k'(x)e^(2x)=e^(2x)
donc k'(x)=1 donc
k(x)=x+C
où est le souci ?

[invite5469eba7]

Dans le cours, il y a écrit pour le MVC qu'il faut mettre le a(x) dans cette formule (il vient de y'-(a(x))y = b(x)), ce qui en soit ne change rien au résultat car tout s'enlève/se simplifie ensuite

Par contre, vous avez écrit : y'(x)= k'(x)e^(2x) +2k(x)e^(2x) alors que pour moi c'est plutôt y'(x)= k'(x)2e^(2x) +k(x)e^(2x). Les dérivées vont avec les dérivées, si je dérive yp = k(x)e^(2x) cela donne yp' = k(x)'2e^(2x) + ...

[invite51d17075]

Par contre, vous avez écrit : y'(x)= k'(x)e^(2x) +2k(x)e^(2x) alors que pour moi c'est plutôt y'(x)= k'(x)2e^(2x) +k(x)e^(2x).

la dérivée de u(x)v(x) est u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
ici tu écris :
u'(x)v'(x)+u(x)v(x)

[invite5469eba7]

Ah oui en effet, excusez moi et le a(x) on a pas vraiment besoin de l’écrire ? Dans le cours il y est c'est pour ça
Je le trouve aussi dans cette formule : f'(x) - a(x)f(x) = b(x) c'est pour ça que je me dis qu'il est peut-être important.

Pour revenir sur la méthode de la variation de la constante, elle ne marche pas toujours ?
J'ai des difficultés à reconnaitre une équations a coefficients constants, mais ce qui m'interpelle c'est quand je vois du cos/sin ou fonction polynomiale et là je me dis que le MVC ne marchera pas

[invite51d17075]

Pour revenir sur la méthode de la variation de la constante, elle ne marche pas toujours ?

elle fonctionne pourtant souvent :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthod...des_constantes

[invite5469eba7]

Et pour ma question sur le a(x) svp ?

Non, justement je crois qu'elle marche pas toujours, par ex dans le cas d'une fonction polynomiale ou trigo

[invite51d17075]

non, ça ne marche pas tj.
prenons un cas "d'école" d'une équation du type
a(x)f'(x)+b(x)f(x)=0
donc même au départ sans second membre.
la solution homogène passe par une primitive de b(x)/a(x) qui n'existe pas toujours ou n'est parfois pas calculable

[invite5469eba7]

[invite5469eba7]

[gg0]

Bonjour.

Tes calculs n'ont manifestement rien à voir avec la méthode de variation de la constante. Peut-être copies-tu des calculs faits dans d'autres exercices, d'énoncé différent, sans avoir compris ce qui y était fait.
Par exemple, dans le message #13, pourquoi voudrais-tu calculer yp'-yp ? Quel rapport avec l'équation différentielle à résoudre ?

Dans la correction, on te dit "Si y(x)=k(x=) est solution de (E)". Traduis cette condition (tu sais ce que veut dire "y(x) est solution de l'équation différentielle (E)", non ?), c'est tout.

NB : Apprendre vraiment le cours, y compris les explications "évidentes" du début, qui sont fondamentales, permet de faire facilement les exercices. manifestement, tu n'as pas fait ça.

[invite5469eba7]

Bonsoir,

Je ne suis pas d'accord, je ne recopie rien du tout et je me base à 100% sur le cours, comme l'image le montre message #6, k'(x)e^A(x) + k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x) = b(x) c'est-à-dire k'(x)e^A(x) = b(x) est la méthode du cours que j'utilise et j'ai bien réussi à trouver pas mal de solutions particulière qui s'avérait exact de cette manière

f'(x) - f(x) = b(x) est le cours (j'appelle ça yp' - y dans mon cas)

Voir message #6 : f'(x) - f(x) = b(x) -> k'(x)e^A(x) + k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x) = b(x) et c'est une preuve de la méthode

[invite5469eba7]

Je suis étonné car c'est vraiment une preuve du cours que j'utilise (que je remet ici en bas du message). Je m'attendais à une remarque sur une erreur de calcul peut-être par exemple, mais sur le cours c'est la dernière chose...

[gg0]

S'il y a ça dans ton cours, et que ça ne marche pas, c'est que le cours ne sert à rien. Ou que tu le lis de travers.

En fait, en reprenant le message #13, comme k(x)sin(x) est solution, on peut remplacer y(x) par k(x)sin(x) dans l'équation y'-(cos(x)/sin(x))y=cos(x). pas besoin de cours pour dire ça, c'est la définition de "solution". Ça donne :
k'(x)sin(x)+k(x) cos(x) -(cos(x)/sin(x))k(x) sin(x) =cos(x)
Dans le premier membre, les deuxième et troisième termes se simplifient, et il ne reste que
k'(x) sin(x)=cos(x)
ce qui donne bien ce qu'annonce ton corrigé puisque sin(x) ne s'annule pas sur l'intervalle proposé.

C'est très simple, ce n'est que la définition de "est une solution".

En fait, si je comprends bien, tu veux utiliser la preuve que la méthode marche à la place de la méthode. Or utiliser la méthode est utile, ça permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé en résolvant l'équation sans second membre. Sans compter que ça ne demande aucune connaissance nouvelle, pas besoin de retenir par cœur une formule particulière. Et enfin, je ne sais pas d'où tu sors ton f'(x) - f(x) = b(x) qui n'est pas dans la preuve du théorème, et qui n'a aucun rapport sérieux avec le théorème que tu cites, ni même avec l'équation que tu veux résoudre.

Désolé !

[invite5469eba7]

En fait, comme il met entre parenthèse, "utiliser la méthode de la variation de la constante", je voulais bien utiliser cette méthode.

Dans la proposition du théorème, nous définissons f(x) = k(x)e^A(x).
Dans la preuve du théorème, nous définissons f'(x) = k'(x)e^A(x) + k(x)e^A(x).

Dans mon cas, f(x) = k(x)sin(x) et f'(x) = k'(x)sin(x) + k(x)cos(x)

Dans la preuve du théorème, nous définissons, k'(x)e^A(x) + k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x) = b(x) (Il y a f'(x) et f(x) ça vient de là)

Dans mon cas, k'(x)sin(x) + k(x)cos(x) - k(x)sin(x) = b(x)


Dans la preuve du théorème, k'(x)e^A(x) = b(x)
Je rappel qu'on avait k'(x)e^A(x) + k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x) = b(x). On cherche à se débarassé de " k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x)" afin d'obtenir k'(x)e^A(x) = b(x)

Dans mon cas, k'(x)sin(x) + k(x)cos(x) - k(x)sin(x) = b(x). Je cherche à me débarrassé de k(x)cos(x) - k(x)sin(x). Ce qui ne pose pas problème habituellement

Etant donné que dans mon cas b(x) = cos(x) J'obtiendrai à la fin k'(x) = cos(x)/sin(x)

Ensuite, on primitive k'(x) pour obtenir k(x) et l'injecté dans f(x) = k(x)sin(x)

[gg0]

"Dans mon cas, k'(x)sin(x) + k(x)cos(x) - k(x)sin(x) = b(x)" Non !

Tu réécris y'-y qui n'a rien à voir avec l'équation différentielle.

"Dans la preuve du théorème, nous définissons, k'(x)e^A(x) + k(x)a(x)e^A(x) - a(x)k(x)e^A(x) = b(x) "
Et manifestement, tu ne sais pas pourquoi, sinon tu n'écrirais pas ce que j'ai copié ci-dessus.

Tu fais de l'imitation ratée, alors que c'est très simple.

Je vais arrêter de te répondre, car ce que je t'explique n'est pas lu, résultat tu continues impoliment à vouloir justifier ton erreur au lieu de comprendre la méthode que j'ai réexpliquée.

Ciao !

[jacknicklaus]

Et enfin, je ne sais pas d'où tu sors ton f'(x) - f(x) = b(x) qui n'est pas dans la preuve du théorème, et qui n'a aucun rapport sérieux avec le théorème que tu cites, ni même avec l'équation que tu veux résoudre.

tout est là; tu fais une fixation sur ce f'(x) - f(x) qui ne sort de nulle part.

tu ferais mieux (partie 3, message 13) de poser tranquillement y(x) = k(x)sin(x) et d'injecter ceci dans l'équation initiale y'(x) - (cos(x)/sin(x)).y(x) = cos(x)

c'est çà la méthode, et rien d"autre. tu compliques une chose très simple.

[invite51d17075]

t
c'est çà la méthode, et rien d"autre. tu compliques une chose très simple.

ben vi, et pour une fois je m'abstiendrai de toute résolution ( "à la place de ")
puisqu'il s'agit tout simplement d'une application directe de la méthode vue en cours.
donc aucun conseil additif n'est utile.

[gg0]

En plus, je l'ai faite cette résolution, mais idée fixe ou impolitesse, il n'a même pas lu ...