Produit tensoriel et matriciel : commutativité

[fabio123]

Bonjour,

j'aimerais comprendre un peu mieux le message #9 du post suivant : https://forums.futura-sciences.com/p...e-lorentz.html

Il est dit :

Les multiplications tensorielles commutent. Sans contraction, une composante d'un produit est le produit de deux composantes: ça commute. Avec contraction, une composante est la somme de produits de composantes, ça commute encore...

La multiplication matricielle ne commute pas, mais il suffit de noter pour voir pourquoi.





C et D sont différentes et correspondent aux deux multiplications matricielles entre A et B. En notation tensorielle, la multiplication tensorielle est commutative. Mais la multiplication matricielle demande une contraction: c'est le choix de l'indice qui permet de choisir l'ordre de la multiplication matricielle...

Par rapport aux produits matriciels AB et BA : Que veut dire "En notation tensorielle, la multiplication tensorielle est commutative" ?

S'agit-il du tenseur issu du produit tensoriel entre le "tenseur" A et le "tenseur B" que l'on peut définir ainsi :

Dans ce cas alors, le tenseur E est un tenseur (2,2) (2 fois contravariant, 2 fois covariant) ?

Est-ce l'auteur veut dire que l'on peut aussi écrire : , l'ordre importe peu pour l'élément ?

D'après ce que j'ai compris, c'est le choix de l'indice de contraction (soit sur le couple (m,n), soit sur le couple (i,k)) dans l'expression qui va déterminer l'ordre de multiplication et donc qui va pouvoir être assimilé au produit matriciel AB ou BA : est-ce correct de dire ça ?

Tout éclaircissement est le bienvenu.
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[Resartus]

Bonjour,
Le post cité a tort : le produit tensoriel n'est pas commutatif. Tout ce qu'on peut dire c'est que les composantes du tenseur (si on choisit des bases) seront les mêmes, mais pas à la même position.
C'est un peu ce qui se passe entre une matrice et sa transposée : elles ont les mêmes valeurs, mais elles sont différentes