Point intérieur

[invite9dc7b526]

bonjour, si j'ai bien compris ta définition de l'intérieur d'une partie A d'un espace topologique E, c'est l'ensemble des points de E dont A est un voisinage, et ta définition de A voisinage de x c'est A contient une boule ouverte (de E mais donc de A) de centre x.

Or une boule ouverte contient son centre. Tu pourrais être tenté de prendre comme contre-exemple E=R\{0} et la boule ouverte B(0,1) qui ne contient pas 0, mais cette "boule ouverte" n'en est pas une (on ne peut calculer les "distances à zéro" dans E).
-----

[Anonyme007]

Bonjour,

Par définition : est le plus grand ouvert de contenu dans .
Par conséquent : .

[invite51d17075]

si tu entends
soit X un espace topologique
Int(A) : "le plus grand ouvert de X inclus dans A" , alors la réponse est positive.
car Int(A) est simplement la réunion de tous les ouverts de X inclus dans A.
donc leur réunion l'est aussi.

[invite51d17075]

edit : pas vu la réponse précédente ?
était elle présente ?

[mehdi_128]

Merci pour vos réponses j'avais oublié cette définition.
Et l'adhérence c'est le plus petit fermé contenant cette partie.

J'ai le théorème suivant et je me demande pourquoi doit appartenir à l'adhérence du domaine D ? Pourquoi pas simplement ?

[invite51d17075]

Merci pour vos réponses j'avais oublié cette définition.
Et l'adhérence c'est le plus petit fermé contenant cette partie.

J'ai le théorème suivant et je me demande pourquoi doit appartenir à l'adhérence du domaine D ? Pourquoi pas simplement ?

Tout simplement parce qu'on peut dire aussi que l'adhérence est l'intersection de tous les fermés contenant D.
Un contre exemple de ta "proposition".
soit D=[0;1]U{2}
quelle est l'adhérence de D ?

[invite9dc7b526]

Il est question ici de l'intérieur de D, pas de son adhérence.

[Anonyme007]

Non, si je ne m'abuse, appartient à l’intérieur de , et non pas à l'adhérence de .
Si appartient à l'adhérence de , pourrait être à fortiori un point de la frontière de , et donc, on aura du mal à définir la notion de limite en un point. On ne pourra dans ce cas là définir que la limite à droite, noté : , ou à gauche en , noté : , et non pas la limite en , noté : .

[invite51d17075]

autre exemple plus parlant.
soit D = ensemble des rationnels contenus dans [0;1]
quel est l'adhérence de D dans R ( réels )

[invite51d17075]

Il est question ici de l'intérieur de D, pas de son adhérence.

effectivement, mal lu sa question, ni compris le lien ( à postériori ) avec la pièce jointe.

[mehdi_128]

J'ai fait une erreur de frappe désolé, mais pourquoi on prend ce x0 dans l'intérieur de D ? Quel est l'intérêt ? Pourquoi pas le prendre dans D ?
Enfin dans le cadre de ce théorème....

[invite51d17075]

Il est facile de voir que la proposition 3) par exemple n'a pas de sens si x0 n'est pas à l'intérieur de D
soit D=[0,1] et f définie sur D
que vaudrait la limité à gauche de f(x) en x0=0 ?

[mehdi_128]

Je vois pas où est le problème :/

[invite51d17075]

quelle pourrait être la limite en 0- ( à gauche de 0 ) de f(x) si f(x) n'est définie que sur [0,1]?
pour avoir une limite à gauche et à droite en x0, il est nécessaire que x0 app à ]0,1[.

[mehdi_128]

Je vois toujours pas.

[invite51d17075]

m'enfin
par définition :
limite en 0- de f(x) ( f définie sur [0;1] dans mon exemple )

comment peux tu définir f(x) si x <0 et que f n'y est pas définie ?
tu ne peux donc le faire en 0 mais en un x0>0

[invite51d17075]

exemple : essaye d'appliquer la caractéristique 3) à la fonction f(x)=rac(x) en x=0
En fait, je crois que tu ne comprend pas les termes "limite à gauche et à droite d'un point " !!!

[mehdi_128]

D'accord je vois.

Je savais pas qu'il fallait qu'une fonction soit définie en un point x0 pour calculer sa limite en ce point.

Pour les définitions de limite à gauche et à droite, mon livre dit que x0 doit appartenir à l'adhérence de D...

[mehdi_128]

exemple : essaye d'appliquer la caractéristique 3) à la fonction f(x)=rac(x) en x=0
En fait, je crois que tu ne comprend pas les termes "limite à gauche et à droite" !!!

J'ai un exemple dans mon livre qui contredit ce que vous dites on calcule la limite en 0- alors que la fonction n'est pas définie en 0 !

[invite51d17075]

D'accord je vois.

Je savais pas qu'il fallait qu'une fonction soit définie en un point x0 pour calculer sa limite en ce point.

ce n'est pas le sujet.
d'ailleurs, on peut calculer la lim d'une fonction quand x-x0 sans que f(x0) y soit définie.
par exemple en +l'inf alors que +l'inf n'app pas à R.

Pour les définitions de limite à gauche et à droite, mon livre dit que x0 doit appartenir à l'adhérence de D...

ça ressort , cette histoire "d'adhérence" ??????
dans quel passage du livre ?

[invite23cdddab]

Il n'y a effectivement pas besoin que la fonction soit définie en x0 pour parler de sa limite en x0.


Mais ici, si ta fonction n'est pas définie en x0, elle ne peut pas être continue en x0. Or comme l'objectif du théorème c'est de prouver que f est continue, il va falloir avoir ça quelque part dans les hypothèses.

[mehdi_128]

Il n'y a effectivement pas besoin que la fonction soit définie en x0 pour parler de sa limite en x0.


Mais ici, si ta fonction n'est pas définie en x0, elle ne peut pas être continue en x0. Or comme l'objectif du théorème c'est de prouver que f est continue, il va falloir avoir ça quelque part dans les hypothèses.

f est définie sur un domaine D.
Mais pourquoi on prend pas simplement ?
Pourquoi il faut forcément prendre ?

[invite51d17075]

explication donnée plusieurs fois ( en référence à ton extrait de cours ).
j'abandonne.

[mehdi_128]

ce n'est pas le sujet.
d'ailleurs, on peut calculer la lim d'une fonction quand x-x0 sans que f(x0) y soit définie.
par exemple en +l'inf alors que +l'inf n'app pas à R.

ça ressort , cette histoire "d'adhérence" ??????
dans quel passage du livre ?

Pour les définitions de limites on prend x0 dans l'adhérence mais ça j'ai compris c'est pour pouvoir utiliser le théorème pour tout x0 même en moins l'infini et plus l'infini car l'adhérence de est
Comme ça on a qu'une définition. Alors que sur les suites ça faisait plein de définitions.

[mehdi_128]

explication donnée plusieurs fois ( en référence à ton extrait de cours ).
j'abandonne.

J'ai pas compris votre explication. Je vous ai donné un contre exemple en plus avec la fonction exp(1/x) dans mon livre on calcule sa limite en 0- ... Or elle n'est pas définie en 0.

[invite51d17075]

J'ai un exemple dans mon livre qui contredit ce que vous dites on calcule la limite en 0- alors que la fonction n'est pas définie en 0 !

visiblement, parfois tu réponds en référence à un autre passage de ton livre sans le citer. ( comme sur cette histoire d'adhérence )
ce qui est très perturbant.
ce que tu dis ici n'a rien à voir avec mes commentaires plus haut.
une fonction peut être définie partout sauf en 0 et avoir une limite en 0. ( ou , une limite à gauche et une autre à droite )

ce que je disais était en référence avec ton autre pièce jointe.
à savoir que tu ne peux parler de lim quand x->0- si f(x) n'est pas définie sur les x<0.

Ce n'est pas le cas que tu cites ici.

[mehdi_128]

exemple : essaye d'appliquer la caractéristique 3) à la fonction f(x)=rac(x) en x=0
En fait, je crois que tu ne comprend pas les termes "limite à gauche et à droite d'un point " !!!

Si je m'intéresse à la limite à gauche en 0 de votre fonction, comment prouver qu'elle n'existe pas ?

[invite51d17075]

Si je m'intéresse à la limite à gauche en 0 de votre fonction, comment prouver qu'elle n'existe pas ?

parce que rac(x) n'est définie que pour x>=0

sinon, quel rapport entre tes deux pièce jointes.
la première parle de continuité en un point d'une fonction, la seconde de lim ( à gauche et/ou à droite ) d'une autre.

et tu me(nous) fait un drôle de mélange entre les deux.
jusqu'à dire que je me trompe en prenant un second sujet qui serait contradictoire avec mes propos sur un autre !

c'est très confus tout ça ! et fatiguant, je l'avoue.
prend les sujets les uns après les autres sans faire de la bouillie STP.

[mehdi_128]

visiblement, parfois tu réponds en référence à un autre passage de ton livre sans le citer. ( comme sur cette histoire d'adhérence )
ce qui est très perturbant.
ce que tu dis ici n'a rien à voir avec mes commentaires plus haut.
une fonction peut être définie partout sauf en 0 et avoir une limite en 0. ( ou , une limite à gauche et une autre à droite )

ce que je disais était en référence avec ton autre pièce jointe.
à savoir que tu ne peux parler de lim quand x->0- si f(x) n'est pas définie sur les x<0.

Ce n'est pas le cas que tu cites ici.

Ok je vois la nuance !

[mehdi_128]

parce que rac(x) n'est définie que pour x>=0

sinon, quel rapport entre tes deux pièce jointes.
la première parle de continuité en un point d'une fonction, la seconde de lim ( à gauche et/ou à droite ) d'une autre.

et tu me(nous) fait un drôle de mélange entre les deux.
jusqu'à dire que je me trompe en prenant un second sujet qui serait contradictoire avec mes propos sur un autre !

c'est très confus tout ça ! et fatiguant, je l'avoue.
prend les sujets les uns après les autres sans faire de la bouillie STP.

Parce que c'est lié dans mon cours on dit que :

f est continue en est équivalent à f est définie en et admet une limite finie en et nécessairement

C'est pas moi qui a décidé de mélanger limite et continuité, c'est dans le cours.