Récurrence forte
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Récurrence forte



  1. #1
    Poire Mathert

    Récurrence forte


    ------

    Bonjour, je dois résoudre cette exercice :

    Montrer que tout naturel supérieur ou égal à 8 peut s'écrire sous la forme 3a + 5b avec a et b naturels.

    Voici mon raisonnement :

    Par récurrence forte sur n > 7 :

    Init : 8 = 3*1 + 5*1, 9 = 3*3 + 5*0 et 10 = 3*0 + 5*2.

    Hérédité : Soit n un naturel supérieur ou égal à 10. Supposons que pour tout k naturel compris entre 8 et n, la propriété soit vérifiée.

    n + 1 = (n - 2) + 3, or n - 2 est compris entre 8 et n donc il existe un couple de naturels (a, b) tels que n - 2 = 3a + 5b.

    Ainsi, n + 1 = 3a + 5b + 3 = 3 (a + 1) + 5b où a + 1 est naturel.

    Récurrence établie.

    Qu'en pensez-vous?

    -----

  2. #2
    invite86813235

    Re : Récurrence forte

    3a + 5b = 3a + 3b + 2b = 3(a+b) + 2(b) voilà... tu peux écrire tous les multiples de 3, et ajouter 2 une fois ou deux pour avoir les autres.

  3. #3
    Poire Mathert

    Re : Récurrence forte

    J'avais déjà pensé à ça mais l'exercice demande d'utiliser une récurrence... Du coup je me demande si ma récurrence convient.

  4. #4
    Poire Mathert

    Re : Récurrence forte

    Personne pour répondre?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Anonyme007

    Re : Récurrence forte

    Bonjour,
    Moi, je n'ai qu'à te dire très bien.
    J'admire ton raisonnement. C'est bien.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/09/2018 à 01h43.

  7. #6
    Poire Mathert

    Re : Récurrence forte

    Admirer, c'est pas un peu exagéré?

  8. #7
    invite86813235

    Re : Récurrence forte

    tu veux des suites, tu vas en avoir :

    n = 3a + 5b
    n+1 = 3c + 5d

    on suppose cela vrai pour n :

    n+1 - n = 3(c-a) + 5(d-b) = 1

    3 et 5 sont premiers entre eux donc d'après bézout il existe des entiers Naturels x et y tel que :

    c - a = x
    d - b = y

    on remplace :

    n+1 = 3(a+x) + 5(b+y)
    n+1 = 3a+5b + 3x+5y
    n+1 = 3a+5b + 1
    n+1 = n + 1


    j'ai du mal à comprendre ton raisonnement, tu dis que c'est vrai pour n-2 et le montre pour n+1, mais entre les deux ?
    Dernière modification par taudier ; 26/09/2018 à 12h02.

  9. #8
    Anonyme007

    Re : Récurrence forte

    Bonjour @Poire Mathert ( et les autres aussi ) :

    Non, je n'exagère pas, simplement parce que ton idée d'utiliser une récurrence pour établir cet exercice m'inspire beaucoup de choses.
    Utiliser une récurrence à cet exercice me fait penser à l'existence d'une possibilité de prolonger cette meme idée que tu as appliqué, pour établir l'un des problèmes ouverts, difficile d'accès qui harasse tous les mathématiciens à l'heure actuelle. Il s'agit du célèbre problème suivant qui figure ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach et qui n'est pas encore résolu depuis qu'il a été formulé par quelques savants arabes d'Andalousie, ou du grand Maghreb, au temps médiéval. J'ai perdu les sources dont j'ai pu tiré ça. Mais peu importe.

    Cordialement.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/09/2018 à 12h18.

  10. #9
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Récurrence forte

    Anonyme007, merci de stopper là le hors sujet.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  11. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Récurrence forte

    Citation Envoyé par taudier Voir le message
    tu veux des suites, tu vas en avoir :
    …….
    Le but était d'en proposer une.
    et celle proposée est simple et efficace.
    dans un exercice, sachant qu'un élève ou étudiant en a de nombreux à résoudre, le mieux est parfois l'ennemi du bien.
    d'autant que je doute que Bézout soit à son programme !
    Dernière modification par ansset ; 26/09/2018 à 13h11.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    mh34
    Responsable des forums

    Re : Récurrence forte

    Anonyme007 vous n'êtes plus autorisé à poster sur ce fil.
    "mal nommer un objet, c'est ajouter au malheur de ce monde". Albert Camus

  13. #12
    minushabens

    Re : Récurrence forte

    Quand tu fais une démonstration par récurrence tu as le choix de l'entier sur lequel porte la récurrence. Ici il faut montrer qu'une certaine propriété est vraie pour tout entier n supérieur à 8 mais ta récurrence n'a pas de raison de porter sur n. Il est plus simple de raisonner sur le groupe d'entiers {3m,3m+1,3m+2} et de faire une récurrence sur m. Le cas 8 est à traiter à part et premier cas est m=1 i.e. {9,10,11} dont on voit immédiatement qu'il peuvent être représentés sous la forme voulue, et si la propriété est vraie pour un m>=1 alors elle est trivialement vraie pour m+1.

    dans cet exercice on ne gagne pas grand-chose mais dans d'autres situations ça peut être utile de choisir la bonne variable.

  14. #13
    Poire Mathert

    Re : Récurrence forte

    Je suis assez surpris par les propos de Anonyme007 mais soit.

    "c'est vrai pour n-2 et le montre pour n+1, mais entre les deux ?"

    Je ne vois pas trop en fait...

    J'ai supposé dans mon hypothèse de récurrence que la propriété est vérifiée pour tout entier compris entre 8 et n pour n supérieur ou égal à 10. Donc n-2 est supérieur ou égal à 8 et est donc compris dans l'intervalle [|8,n|] ce qui me permet d'écrire n - 2 = 3a + 5b pour certains a et b naturels.

    Comme je le vois, on sait qu'à l'initialisation, la propriété est vérifiée pour n = 8, n = 9 et n = 10. Donc c'est aussi vrai pour n = 11. Or comme c'est vrai pour n = 8, n = 9, n = 10 et n = 11, ça l'est aussi pour n = 12 etc...

    Aussi je ne comprends pas la logique de ta preuve (je connais Bézout, ça n'est pas le problème ici).
    Dernière modification par Poire Mathert ; 26/09/2018 à 20h15.

  15. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Récurrence forte

    Citation Envoyé par Poire Mathert Voir le message
    Je ne vois pas trop en fait...
    moi non plus !
    comme ta récurrence porte sur une formulation de n+2 et qu'on te demande de le prouver à partir de n=10,
    il est logique que l'initialisation soit sur les trois premiers termes 8,9 et 10.
    et le reste de ta démo est très propre pour moi.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #15
    azizovsky

    Re : Récurrence forte

    en suivant ta récurrence , soit la proposition est vraie pour n càd n=3p+5q ,

    pour n+1 = 3p+5q+1 = 3p+3+5q-2=3p'+5q+3-5

    n+1= 3a+5b

  17. #16
    Médiat

    Re : Récurrence forte

    azizovsky, cette démonstration est incomplète (telle quelle, elle ne marche pas)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #17
    azizovsky

    Re : Récurrence forte

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    azizovsky, cette démonstration est incomplète (telle quelle, elle ne marche pas)
    ok,le reste stp avant

  19. #18
    Médiat

    Re : Récurrence forte

    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    ok,le reste stp avant
     Cliquez pour afficher
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #19
    azizovsky

    Re : Récurrence forte

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
     Cliquez pour afficher
    Merci bcp chef .(tu m'a épargné une nuit blanche)

  21. #20
    Poire Mathert

    Re : Récurrence forte

    Merci pour vos réponses.
    Dernière modification par Poire Mathert ; 27/09/2018 à 02h37.

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