Bonsoir,
nous avons calculé la limite de la fonction suivante et j'ai pas bien compris la méthode de la prof :
Soit Un = (1+2+4+...2^n)/(2^(n+1))
= (1/2(n+1)) x ((1-2^(n+1))/(n-2))
Comment elle a fait pour trouver ça ?
Ou sinon vous comment auriez vous procédé?
merci à vous.
Bonjour.
Je ne comprends pas ta deuxième ligne : = (1/2(n+1)) x ((1-2^(n+1))/(n-2)) qui n'a rien à voir avec ce qui précède. Pour n=3, un vaut 15/16 et (1/2(n+1)) x ((1-2^(n+1))/(n-2)) vaut -15/8. Tu es sûr que ta prof a vraiment marqué ça ?
En tout cas, 1+2+4+...2^n est la somme de n+1 termes successifs d'une suite géométrique(clique), on voit ça en première, donc tu sais le transformer.
Cordialement.
Bonsoir merci pour votre réponse .
Voici la réponse de la prof je pense avoir fait une erreur en tapant.
Un = ((1/2^(n+1)) x (1-2^(n+1))/n-2
Pour transformer 1+2+4+...2^n = 1-2^(n+1) c'est bien ça?
non, la somme de la suite géométrique estEnvoyé par Momo54500
=(1-2^(n+1)/(1-2)=2^(n+1)-1
heureusement, sinon elle serait négative , ce qui serait ....."incongru" non ?
donc en fait l'expression du prof est bonne à une faute de frappe prêt (*)
= (1/2(n+1)) x ((1-2^(n+1))/(n-2)) non , c'est
= (1/2(n+1)) x ((1-2^(n+1))/(1-2))
ce qui se simplifie grandement
(*) faute du prof ou faute de recopie de ta part ?
du coup la limite apparait de manière triviale.
Merci à vous.
J'avais lu n mais c'est un "1" en faite.
et donc , l'expression simplifiée devient ?
et la limite quand n -> l'inf ?
pour mémoire
Bonsoir,
excusez moi j'ai eu un problème avec mon ordinateur.
Donc du coup l'expression simplifiée est :
Un = (1/2^(n+1)) x ((1-2^(n+1))/-1)
Ensuite on factorise par -2^(n+1)
On obtient donc Un = (1/(2^(n+1))) + 1 et lim quand n tend vers l'inf vaut 1.
C'est bien ça?
oui, c'est ça !
heu, non , faute de frappe
c'est 1-1/(2^(n+1))
Oui voilà désolé.
Y'a une autre suite qui me pose problème :
c'est Un = (3^n)/n
En utilisant le critère de cauchy on obtient :
racine n-ème de Un = 3/(n^1/n))
mais comment on fait pour transformer n^(1/n) ?
Merci à vous.
et surtout comment on fait pour calculer sa limite
merci à vous.
Calcule le quotient de deux termes successifs : u(n+1)/u(n) et montre qu'il est minoré par un nombre strictement plus grand que 1.
Okay donc on a :
3x(n/n+1) et comme n/n+1 = 1/(1+1/n) qui tend vers 1 alors Un+1/Un tend vers 3 > 1 c'est bien ça?
Et pour étudier la nature de la suite :
Un = n!/n
En faisant Un+1/Un j'obtiens :
e^(n ln(1-1/(n+1)))
Mais du coup une fois qu'on a ça qu'est ce qu'on peut faire ensuite?
non, la limite n'indique rien de "direct".( il faudrait prolonger de manière inutile)
en revanche n/(n+1)<= 2 si n>=1
d'où u(n+1)/un >= 3/2 dès le rang 1.
on en déduit la divergence de U(n)
en plus simple
n!/n=(n-1)!
a toi de voir ce que tu en fais ensuite.
ps : ce qui simplifie u(n+1)/un
Pour n!/n j'ai utilisé le DL en 0 de ln(1-x)
on obtient à la fin e((-n/n+1)[1+o(1)) qui tend vers e^-1 = 1/e < 1 donc Un est convergente c'est bon?
Je suis maintenant sur la suite Un = n(n+1)....(2n)/((2n)^n)
En faisant Un+1/Un j'obtiens à la fin
(2n+1)/n x (1/(1+1/n)^n)
Cependant dans la correction le prof trouve que ça tend vers 2/e mais moi je trouve que ça tend vers 2.
(2n+1)/n tend vers 2 car en transformant on obtient : 2+(1/n) qui tend vers 2
et pour 1/(1+(1/n))^n je trouve que ça tend vers e^0 = 1
Vous savez ou j'ai fait une erreur ?
Merci à vous.
Non c'est bon excusez moi je viens de comprendre qu'il fallait passer par un D.L
il doit y avoir une erreur d'énoncé ici , car il est trivial que n!/n tend vers +inf.
essaye d'être clair dans les énoncés de tes exercices, on s'y perd !
Oui désolé
l'énoncé c'est étudier la nature des suites numériques suivantes.
tu connais la formule de Stirling ?
Nan pas du tout on l'a pas vu en cours.
ta prof a bon, et toi je parie que tu as écris dans ton calcul que
pour le voir, pose Vn = ce terme, prends son log, et regarde la tendance quand n -> infini.
Dernière modification par jacknicklaus ; 14/10/2018 à 22h05.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
oui j'ai fait cette erreur mais ça y est j'ai compris merci à vous.
ou sinon je voulais savoir par rapport à la somme des 1/n².
comment fait on pour savoir si ça converge ou diverge?
Il faut juste faire tendre n vers + inf?
? je comprends pas ?
si ta question est "est ce que si le terme général Un à une limite (nulle) alors la somme de Un converge", la réponse est NON ! Exemple : la somme de 1/n diverge.
Pour étudier "à la main" la convergence de la série 1/n², un moyen classique est de s'appuyer sur 1/k² <= 1/(k-1) - 1/(k), puis de télescoper.
Dernière modification par jacknicklaus ; 14/10/2018 à 23h16.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Ok je vous remercie.
Dans certains exercices pour montrer qu'une somme est absolument convergente le prof étudie l'intégrale. Alors que dans le cours il faut étudier la valeur absolue de la suite.
Par exemple somme des Un = ((-1)^n) x logn/(n^a)
On pose f(x) = log(x)/x^a
Pour a compris entre 0 et 1 on trouve que l'intégrale entre 1 et X vaut :
I = (1/-a+1) x X^(-a+1) x (log X - 1/-a+1) + 1/(-a+1)²
On voit qu'ici l'intégrale de f(x) dx est divergente donc la somme des suite de logn/n^a est divergente.
et pour a > 1 On a
I = (1/(-a+1)) x ((log X/(X^(a-1))) - (1/-a+1) x (1/X^(a+1))) + 1/(-a+1)²
Et I tend vers 1/(-a+1)²
donc I est convergente et somme des f(n) = somme de log(n)/n^a est convergente.
Et le prof conclut que la somme des ((-1)^n)log(n)/n^a est absolument convergente ssi a > 1.
Comment en est-il venu à cette conclusion ?
Merci à vous.
Bonjour.
Ton prof applique les règles du cours. A toi de les apprendre immédiatement pour comprendre ce qu'il fait. Ici, l'application d'un des théorèmes sur la convergence des séries. Et aussi bien lire ce que tu écris :
"dans le cours il faut étudier la valeur absolue de la suite" (comprendre la série des valeurs absolues des termes de la suite - définition de "convergence absolue")
et en tirer la conséquence : On veut une convergence absolue, donc on étudie quelle série ? Ben .. la série de terme général |Un| = |((-1)^n) x logn/(n^a)| = ???
Beaucoup de tes questions auraient disparu si tu avais vraiment appris et mis en œuvre toi-même le cours. Toujours relire les cours avant d'aller poser aux autres des questions. Souvent, il ne reste plus de question.
Cordialement.
Bonjour ,
Merci à vous pour votre réponse.
Si je pose la question c'est justement parce que je n'ai trouvé que ça sur la convergence absolue.
Il n'y a rien d'autre d'écrit dans le cours. Pas même qu'il faille faire l'intégrale.
