(In)dénombrabilité de l'ensemble des réels compris entre 0 et 1

[egodard]

J'entame un livre de plus sur les mesures de Lebesgue.
Je butte sur les démonstrations qui sont faites pour prouver que l'ensemble des réels de 0 à 1 n'est pas dénombrable.

Les démonstrations s'appuient sur le fait qu'il est toujours possible de trouver un nombre réel non inclus dans une liste quelconque de réels, quelle que soit la méthode choisie pour créer cette liste.
Voici une méthode qui, à mon avis, prouve que l'intervalle ouvert (0,1) est dénombrable.

On rappelle qu'un ensemble est dénombrable s'il est possible d'établir une bijection entre cet ensemble et l'ensemble des entiers.

Dans la liste qui suit les entiers sont listés dans la colonne de gauche, dans l'ordre croissant, précédés d'une infinité de zéro.
La colonne de gauche contient la partie décimale des nombres réels de l'intervalle ouvert (0,1). Pour la première ligne il s'agit du réel 0,1 avec une infinité de zéro à droite.
La 100_ème ligne met en regard l'entier 100 et le réel 0,001 :

...000000000000000000000000000 000000000001 | 100000000000000000000000000000 00000000000...
...000000000000000000000000000 000000000002 | 200000000000000000000000000000 00000000000...
.
.
.
...000000000000000000000000000 000000000100 | 001000000000000000000000000000 00000000000...

Il me semble qu'on obtient une bijection entre l'ensemble des entiers et l'ensemble des réels de l'intervalle ouvert (0,1).
Pouvez-vous me dire où je me trompe ?
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[Tryss2]

A quel entier correspondrait 1/3 ?

[XxDestroyxX]

Quel serait le premier nombre après 0 ?

[Médiat]

Vous avez démontré que l'ensemble des décimaux est dénombrable (cf. remarque de Tryss2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Pouvez-vous me dire où je me trompe ?

Vous vous trompez lourdement avec un titre tel que "Les nombres réels de 0 à 1 sont, à mon avis, dénombrables, prouvez-moi le contraire", les théories personnelles étant interdites sur ce forum, comme indiqué dans la charte que vous avez acceptée en vous inscrivant.

Je laisse ouvert uniquement car on a commencé à vous répondre pour vous montrer vos erreurs de raisonnement. Mais je change le titre initial.

Petit conseil de lecture en passant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Argume...nale_de_Cantor

Pour la modération.

[egodard]

Le nombre entier correspondant à 1/3 serait :

[egodard]

A la question de XxDestroyxX : Quel serait le premier nombre après 0

je dirais que le problème n'est pas de les ordonner mais de les dénombrer.
Par ailleurs les nombres rationnels sont dénombrables et il est parfaitement impossible de répondre à la même question les concernant.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Le nombre entier correspondant à 1/3 serait :

Sauf que ce n'est bien évidemment pas un entier (la série que tu exhibes est trivialement divergente).

Cordialement

[Merlin95]

je dirais que le problème n'est pas de les ordonner mais de les dénombrer.
Par ailleurs les nombres rationnels sont dénombrables et il est parfaitement impossible de répondre à la même question les concernant.

Mais si tu as un ensemble dénombrable c'est que tu as un algorithme qui les dénombre tous ces éléments, tu peux alors pour les ordonner leur attribuer l'indice de l'algorithme en question. Un rationnel est plus grand qu'un autre s'il apparait après dans l'énumération fournie par l'algorithme.

Sans avoir à parler de la formule qui permet de comparer deux rationnels entre eux et sans que ca correspondre à un ordre suivant une distance "naturelle".

[egodard]

PlaneteF,

Tu as raison. Ce nombre n'est pas un entier.
Je te remercie pour ton aide.

Je vais me plonger dans l'étude des nombres P-adique pour poursuivre ma réflexion sur le sujet.

Cordialement.

[albanxiii]

Ce nombre n'est pas un entier.

Ça n'est pas un nombre !

[minushabens]

Je vais me plonger dans l'étude des nombres P-adique pour poursuivre ma réflexion sur le sujet.

c'est bien de poursuivre la réflexion mais ne te fais pas d'illusions, tu ne démontreras jamais que l'ensemble des réels est dénombrable.

[Médiat]

Bonjour,

Ça n'est pas un nombre !

Kurt Hensel ne serait pas d'accord, ...33333333333 = -...666666666667

[egodard]

A vrai dire une suite infini de 3 est un nombre p-adique et même un entier p-adique.
L'argument à retenir toutefois est que les nombres p-adique ne sont pas dénombrables.

Merci à tous.

[stefjm]

Bonjour,Kurt Hensel ne serait pas d'accord, ...33333333333 = -...666666666667

Merci Médiat.