Exercice simple : Base d'un sous-espace vectoriel

[invite0907e579]

Bonjour,

dans un exercice de TD, après avoir montré que V est un sous espace vectoriel, on me demande de déterminer une base B de V = (w,x,y,z) et on a : x+y-2z=0 et w-y+z=0

Comme j'ai la correction sous les yeux, je vois qu'une manière d'en déterminer une base est de repérer les variables libres (ici x et w) et de réécrire les équations : x= -y+2z
w= y-z
1) On fixe ensuite des valeurs arbitraires, par souci de simplicité : y=1, z=0 donc x=-1 et w=1 => w=1 x=-1 y=1 z=0 et on a notre premier vecteur constituant la base : (1, -1, 1, 0)

2) On recommence avec d'autres valeurs, ce qui donne w=-1 x=2 y=0 z=1, on a alors le deuxième vecteur : (-1, 2, 0, 1)


3) On en déduit que ces deux vecteurs constituent une base de V : B =[(1, -1, 1, 0);(-1, 2, 0, 1)]

Voilà un exposé très grossier qui reflète bien ma compréhension du sujet.

J'aimerais pouvoir passer d'une étape à l'autre en sachant expliquer :

Entre 1) et 2) : Pourquoi voulons nous obtenir un deuxième vecteur pour constituer une base de V ?

Entre 2) et 3) : Si V est de dimension 4, pourquoi 2 vecteurs suffisent à former une base de dimension 4 ?
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[maatty]

Bonjour,
- je commencerai par répondre à ta deuxième question. V n'est pas de dimension 4 mais 2. Tu sembles faire une confusion. Ce n'est pas parce que les vecteurs de V ont pour coordonnées 4 nombres que V est de dimension 4. C'est simplement que V est un sous espace d'un espace vectoriel de dimension 4. Tous les points de cet espace y compris ceux de V ont donc 4 "coordonnées" (Tout comme tu as vu au collège/lycée qu'une droite du plan s'exprimait avec une équation de la forme y=ax+b (donc les points de coordonnées (x, ax+b) ) pourtant une droite est de dimension 1 pas 2.

- Pour le premier point je ferais plus simplement que ton corrigé. Tu as des coordonnées (w,x,y,z) avec deux conditions imposées: x=-y+2z et
w=y-z. Les vecteurs de V ont des coordonnées de la forme (y-z, -y+z, y, z) (tu vois que tu as deux variables libres y et z, cela te donne la dimension de V) et tu dois chercher une famille que génère tous les vecteurs de ce type :
or: (y-z, -y+z, y, z)= y(1,-1,1,0)+z(-1,1,0,1) donc avec ces deux vecteurs (1,-1,1,0) et (-1,1,0,1) tu peux générer tous les vecteurs de V.

[maatty]

Désolé j'ai fait une erreur les vecteurs de V sont de la forme: (y-z, -y+2z, y, z) et donc tous ces vecteurs peuvent se décomposer:

(y-z, -y+2z, y, z)= y(1,-1,1,0)+z(-1,2,0,1) (j'ai omis le 2). d'où { (1,-1,1,0) , (-1,2,0,1) } famille génératrice de V (j'ai également chercher une famille que génère, je voulais dire qui génère...)
En outre elle est également libre (les deux vecteurs sont non colinéaires) donc c'est une base.

[invite0907e579]

Merci, ta réponse est limpide. Par contre comment en viens tu à affirmer que les vecteurs de V sont de la forme (y-z, -y+2z, y, z), et fais tu les mêmes calculs que moi pour trouver les vecteurs constituant la base ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

les équations x+y-2z=0 et w-y+z=0 permettent de calculer w (la deuxième) puis x en fonction de y et z.

Cordialement.

[maatty]

Non pas exactement; les vecteurs de V sont (w,x,y,z) avec w=y-z et x=-y+2z donc (w,x,y,z)=(y-z,-y+2z, y, z). Ensuite tu décomposes simplement ce vecteur:
(y-z,-y+2z, y, z)=(y, -y, y, 0)+(-z, 2z, 0, z)=y(1,-1,1,0)+z(-1,2,0,1)

Cordialement

[invite0907e579]

C'est compris, merci !