Suite se générant elle-même

[invite9dc7b526]

et ici la différences entre les suites u1 et u541. Attention le fait que la différence soit négative et globalement décroissante ne signifie pas qu'il n'y a pas des rangs n1 et n2 tels que u1(n1)=u541(n2).
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[invite51d17075]

bjr, l'approche pourrait être peut être plus riche en démarrant à partir de
U_1(n) tel que U_1(n)=54x ou 53x et
U_541(1).
???
Cdt

[akntn]

Je ne comprends pas les valeurs négatives dans la marge gauche du graphique (excuse mes lacunes). Et qu'entends-tu par suite 541 ?

[akntn]

U 541 = sous-suite ?

[akntn]

Parce que 541 rejoint U(1) à 1118.

[invite51d17075]

oui Minushabens a pris 541 comme premier terme d'une suite.
l'idée générale étant d'essayer de montrer analytiquement que toute suite ( donc qcq soit sa valeur initiale converge vers toutes les autres )
j'essaye de trouver une étape plus simple pour commencer.
mais je sèche.

[akntn]

Je préfère l'idée d'une suite fondamentale infinie (U1) vers laquelle converge une infinité de suites finies (par ex, 541 est finie à 1118 de U1). Toute suite (sans distinction de valeur initiale) ne peut que converger vers un nombre fini d'autres suites, et serait donc par ce fait elle-même finie. On aurait un réseau infini de segments finis, au lieu d'une arborescence infinie.
En tout cas bon courage pour une éventuelle démonstration.

[invite51d17075]

j'ai bien compris que c'était la conjecture que tu aimerais que l'on puisse démontrer.
en fait, j'avais même cru comprendre que tu allais plus loin qu'une infinité de suites / suite U(1) car cela me semble déjà fait que de démontrer que la totalité des suites convergeaient.

[invite9dc7b526]

j'ai poursuivi ce matin mon étude empirique. Je m'intéresse à la "jonction" entre les suites u1 (la suite qui démarre avec 1) et ux (la suite qui démarre avec le nombre x) où x varie (de 1 à 2000 dans mes calculs). Au point de jonction je note le rang dans u1 (que je note n1), celui dans ux (nx), et la valeur commune, i.e. la valeur u1(n1)=ux(nx)

l'image jointe montre la valeur à la jonction en fonction de x. Elle me fait penser à des algues au fond d'une rivière. C'est curieux ces formes "régulières mais pas trop". Les représentations de n1 et nx sont tout aussi curieuses...

[azizovsky]

Je préfère l'idée d'une suite fondamentale infinie (U1) vers laquelle converge une infinité de suites finies .

Je crois que je me suis mal exprimé , par exemple u(3),u(5),u(7) en fonction des termes de u(1):

1+2=3
2+4=6
4+8=3[9]=12
8+16=8[9]+7[9]=6[9]=15
16+23=7[9]+5[9]=3[9]=21
...........

1+4=5
2+8=1[9]=10
4+16=4[9]+7[9]=2[9]=11
8+23=8[9]+5[9]=4[9]=13
..................


1+2+4=7
2+4+8=5[9]=14
4+8+16=3[9]+7[9]=1[9]=19
8+16+23=8[9]+7[9]+5[9]=2[9]=29
16+23+28=7[9]+5[9]+1[9]=4[9]=40
..........

[azizovsky]

Pour ne pas brûler les étapes, on doit avoir toujours la suite {1,2,4,8,7,5} (avec permutation...) dans : a[9]

ps: u(1) suite 'génératrice' des autres suites

[akntn]

l'image jointe montre la valeur à la jonction en fonction de x. Elle me fait penser à des algues au fond d'une rivière. C'est curieux ces formes "régulières mais pas trop". Les représentations de n1 et nx sont tout aussi curieuses...

Malheureusement je n'ai pas accès à ton graphique (je ne sais pas pourquoi). Est-ce une structure arborescente ?

[akntn]

OK je vois. C'est plutôt joli.

[akntn]

Pour ne pas brûler les étapes, on doit avoir toujours la suite {1,2,4,8,7,5} (avec permutation...) dans : a[9]

ps: u(1) suite 'génératrice' des autres suites

Oui, on peut d'ailleurs construire la suite 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 29, 31, 35, 43, 50, 55, 56, 58, 62, 70, 77, 82, ... qui est parfaitement linéaire puisque on a une raison périodique (1,2,4,8,7,5).

[invite51d17075]

j'ai poursuivi ce matin mon étude empirique. Je m'intéresse à la "jonction" entre les suites u1 (la suite qui démarre avec 1) et ux (la suite qui démarre avec le nombre x) où x varie (de 1 à 2000 dans mes calculs). Au point de jonction je note le rang dans u1 (que je note n1), celui dans ux (nx), et la valeur commune, i.e. la valeur u1(n1)=ux(nx)

intéressant,
pour être sur de bien saisir , à quoi correspond l'ordonnée du graphique ?
et pourquoi s'arrête t on à 50 , est ce le max ou bien il n'y a pas encore de convergence après 50 itérations ( si c'est la nature de l'ordonnée ) ?
Cdt

[invite9dc7b526]

l'ordonnée est la plus petite valeur commune à u1 et ux (x est l'abcisse). Et effectivement j'avais limité la recherche à 50 itérations. J'ai relancé le calcul sans limitation et pour x allant jusqu'à 10000 (s'il y avait eu un contre-exemple à la conjecture d'akntn le programme se serait arrêté avec une erreur de dépassement de valeur entière). La structure est la même: des "herbes" penchées vers la gauche et de différentes tailles. Elle me fait penser à une fractale.

[azizovsky]

Elle est d'une beauté mathématique (les autres aussi). (plus d'une heure le matin pour la visualiser mais je crois qu'elle n'était pas encore valider )

[akntn]

Ordre des suites de 0 à 25 :

0 U0
1 U1
2 U5
3 U7
4 U20
5 U31
6 U53
7 U64
8 U86
9 U97
10 U110
11 U121
12 U143
13 U154
14 U176
15 U187
16 U209
17 U211
18 U233
19 U244
20 U266
21 U277
22 U299
23 U310
24 U323
25 U334

[invite9dc7b526]

La valeur commune aux deux suites quand elles "jonctionnent" est un nombre qui peut s'écrire de deux manières comme x + ds(x) (où ds = digit sum est la somme des chiffres dans l'écriture en base 10). Sauf bien sûr dans le cas où l'une des suites commence par ce nombre et qu'il figure dans l'autre suite. Il n'y a pas beaucoup de tels nombres.

[akntn]

Oui, on peut d'ailleurs construire la suite 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 29, 31, 35, 43, 50, 55, 56, 58, 62, 70, 77, 82, ... qui est parfaitement linéaire puisque on a une raison périodique (1,2,4,8,7,5).

Cette suite est la suite U(0).

[invite51d17075]

l'ordonnée est la plus petite valeur commune à u1 et ux (x est l'abcisse). Et effectivement j'avais limité la recherche à 50 itérations.

pour être sur ....
j'observe que la suite U(5) ( c-a-d ) avec le premier terme 5 converge ( en 677 ) avec U(1)
pour le 57 ème terme de U(5) et le 67 ème de U(1).
donc on dépasse ici les 50 !
il y a t il un truc dans ta formulation que je n'ai pas saisi ?
cordialement.

[invite9dc7b526]

oui je m'étais trompé. Le dessin montre le plus petit rang n dans la suite ux tel que ux(n) appartienne à la suite u1. Et de plus j'avais tronqué l'image à y=50. Voici l'image non tronquée.

[invite9dc7b526]

u5 et u1 se rejoignent avec la valeur 620 il me semble : dans u1 il suit 607 alors que dans u5 il suit 598.

Je ne sais pas quel est le plus petit nombre qui s'écrit de deux façons comme somme d'un autre entier et de la somme de ses chiffres. Il y a 107 (94 et 103).

Et je ne sais pas s'il y a des nombres qui s'écrivent de trois façons ou plus (où trois suites ou plus pourraient converger).

[invite51d17075]

oui pardon, c'est bien 620 donc au rang 53 !
à mon tour de me mélanger un peu les crayons, pardon.
Cdt

[akntn]

Oui, 620 et non 677 (pour u1 et u5). J'ai moi-même fait l'erreur.

[akntn]

[QUOTE=minushabens; Je ne sais pas quel est le plus petit nombre qui s'écrit de deux façons comme somme d'un autre entier et de la somme de ses chiffres. Il y a 107 (94 et 103). Et je ne sais pas s'il y a des nombres qui s'écrivent de trois façons ou plus (où trois suites ou plus pourraient converger).]

Je ne comprends pas.

[invite9dc7b526]

107 = 94 + 9 + 4 = 103 + 1 + 3

pour que deux suites se rejoignent à la valeur n il faut que n s'écrive de deux façons comme somme d'un nombre et de ses chiffres. Si ce n'était pas le cas les deux suites se seraient rejointes avant. La question que je posais est: quel est le plus petit nombre qui a ces deux écritures.

[invite9dc7b526]

voici les premiers nombres qui ont deux écritures n+ds(n)

[1] 101 103 107 115 218 305 313 406 416 517 620 719
[13] 818 917 1003 1007 1015 1022 1118 1205 1213 1306 1316 1417
[25] 1520 1619 1718 1817 1916 2015 2023 2107 2117 2218 2321 2420
[37] 2519 2618 2717 2816 2911 3028 3118 3221 3320 3419 3518 3617
[49] 3716 3811 3928 4015 4025 4115 4216 4315 4414 4513 4612 4711
[61] 4828 4915 5009 5114 5215 5611 10003

101 = 91 + 9 + 1 = 100 + 1 + 0 + 0 est le plus petit (à part si l'on veut 0 = 0 + 0)

[akntn]

Super. 127, par ex, ne peut provenir que de 115 puisque 113 + 14 est impossible. Il y a encore le cas de nombres qui n'ont tout simplement pas de précédent, comme 86.

[akntn]

Ce sont en fait (sauf erreur) les nombres de mon tableau "ordre des suites".