Bonjour,
Quelqu'un a-t-il une idée à propos des suites suivantes :
1 2 4 8 16 23 28 38 49 62 70 77 91 101 103 107 115 122 ...
5 10 11 13 17 25 32 37 47 58 71 79 95 109 119 ...
7 14 19 29 40 44 52 59 73 83 94 107 ...
Principe : on ajoute à U(n) la somme des chiffres qui composent U(n).
On voit que la troisième suite (7) rejoint la première, et c'est le cas de toutes celles qui partent d'un entier quelconque (la suite (5) rejoint la première à 677).
Merci.
NB : n'importe quel entier NON MULTIPLE DE 3.
Bonjour, on pose u(0) = a , u(n)=u(n-1)+somme des chiffres de u(n-1)Envoyé par akntn
modulo 3 un nombre est congru à la somme de ses chiffres, et comme 1+1=2 et 2+2=1 modulo 3, cela explique que quand tu pars d'un non-multiple de 3 tu n'atteins jamais un multiple de 3. Par contre je ne vois pas d'argument pour montrer que toutes les suites de non-multiples de 3 "se rejoignent".
je n'arrive pas à voir ce principe appliqué dans tes suites.
ex : 4 n'est pas la somme de 2 et de 2+1
( pas compris la manip , que veut dire ce que j'ai mis en gras )
mais bon , suis grippé avec 40° de fièvre, ceci explique peut être cela.
désolé
Ansset.
u(n+1) = u(n)+sc(u(n))
4 = 2+sc(2)=2+2
Bon rétablissement !
OK, compris,
merci bien.
Cdt.
Bonjour,
Je ne peux pas prouver pour l'instant que toute suite partant d'un entier (non multiple de 3) rejoint U1. C'est une prédiction que j'ai vérifiée pour quelques entiers seulement (dont 1025, qui rejoint U1 à 2117).
je ne sais pas si c'est démontrable analytiquement.
en revanche, une approche probabiliste ( d'espérance ) peut peut être être envisagée ( ?)
je n'ai fait qu'à la main deux tests sur des séries différentes à 4 chiffres.
en moyenne l'incrément tourne autour de 10, et on observe donc une dizaine de chiffres ( sur 100 ) compris dans dans la centaine suivante.
si ceci s'avère vrai ( avec calcul ) alors l'espérance de retomber sur un même chiffre est d'en 0,1 à chaque centaine suivante.
en étant brutal , il ne me semble plus anormal qu'au bout de 10 centaines , l'espérance approche 1.
mais il serait peut être intéressant de faire un vrai calcul ( evt corroborées par des simu ) plutôt que mon "observation".
d'autant que celle ci concernait uniquement deux suites commençant à 4 chiffres.
( une suite commençant à 10 chiffres a un incrément forcement supérieur mais évaluable statistiquement, ce qui implique une éventuelle espérance de convergence plus longue )
chose amusante : ton exemple qui tombe dans le même ordre de grandeur.
Merci. Avec un petit programme, c'est facile à tester jusqu'à 100 millions. Après, le problème est qu'il est impossible de calculer le énième nombre de cette suite. Par exemple, je ne sais pas si 7666884542309001 appartient ou non à la suite. Sinon il suffirait de la poursuivre à ce stade. Même pour un petit nombre d'ailleurs (par ex 107), je ne sais pas pourquoi un tel nombre appartient à la suite. Je sais seulement que le précédent (modulo 9) donne 4, le précédent donne 2, le précédent donne 1, le précédent donne 5 et le précédent donne 7 (toujours dans cet ordre). Le modulo est toujours un multiple de 9 de plus en plus grand (bien qu'on ait toujours des petits modulo (ex : 100001001 = 3).
En me relisant, je me rend compte que je ne suis pas clair du tout.
L'idée initiale est de présupposer ( c'est osé) qu'une suite ( en dehors des suites 0 mod[3] ) n'a justement pas ( dans les valeurs importantes ) de lien spécifique avec le modulo de son U0.
c'est pourquoi j'ai d'abord commencé une observation de plusieurs suites à 4 chiffres (1), avec le même a de abcd.
pour observer un % nb négligeable du nb d'éléments de la suite dans ce même domaine.
ce qui ( en cas d'indépendance(2) ) induirait une probabilité de croisement.
en cas de non croisement on passe à 5 chiffres , avec une recherche du nb d'éléments à 5 chiffres.
l'idée étant de savoir si on peut en tirer une espérance de croisement .
(1) mon chiffre de 10 était erroné ( choix arbitraire de suites en trop petit nombre )
(2) j'ai du mal à saisir comment utiliser les modulos. d'où mon approche plus générale et avec en préalable une observation statistique sur des séries à n chiffres avec un premier chiffre commun.
chtite correction :
modulo 3 il n'y a que 3 suites:
0 0 0 0 0 ...
1 2 1 2 1 ...
2 1 2 1 2 ...
OK, mais pour en tirer quoi comme lien avec les convergences. ?
je veux dire que cela ne me semble pas de nature à remettre en cause mon hypothèse, car tout nombre est 0,1 ou 2 mod[3]
je précise ( mais c'était implicite ) que j'ignorai volontairement toute analyse sur ce point avec des suites 0 mod 3
Idem avec les multiples de 3 :
U (1) : 3 6 12 15 21 24 30 33 39 51 57 69 84 96 111 114 120 ...
La suite adjacente sur 42 rejoint U (1) à 111.
mais 42 est 0 mod [3] , tout à fait normal que toutes celles ci se rejoignent à un moment.
Remarque : j'ai pris la suite : u(1) :1 2 4 8 16 23 28 38 49 62 70 77 91 101 103 107 115 122 ...
et la suite u(3): 3 6 12 15 21 24 30 33 39 51 57 69 84 96 111 114 120 ...
1+2=3 j'ai pris leurs successeurs dans la suite ''fondamentale u(1):
2+4=6+0x9
4+8=12+0x9
8+16=15 (somme des chiffres+)+0x9
16+23=12+1x9=21 (somme normale)
23+28=15+1x9=24
28+38=21+1x9=30
38+49=24+1x9=33
49+62=21+2x9=39
......................
pour u(5):5 10 11 13 17 25 32 37 47 58 71 79 95 109 119
1+4=5
2+8=10
4+16=11
8+23=13
16+28=17
23+38=16+1x9=25
28+49=23+1x9=32
38+62=19+2x9=37
49+70=20+3+9=47
.......................
Pour une mise à jour du matin, j'ai cherché à trouver le pourquoi de ce 9, et j'ai constaté que la suite "fondamentale" u(1) s'écrit dans la base 9:
les
ps: j'ai vérifié jusqu'à 229
Dernière modification par azizovsky ; 25/12/2018 à 11h18.
correction, j'ai mal carrelé les chiffres dans ma feuille ...
le
Il y'a des nombres qui s'écrivent dans la base 9 mais qui n'appartiennent pas à la suite u(1), par exemple le 169=2.9²+7, son successeur 185=2.9²+2.9+5 mais le 177=2.9²+1.9+5 n'appartient pas à la suite, il faut chercher des conditions sur les a(i).
Dernière modification par azizovsky ; 25/12/2018 à 11h57.
sans insulter l'avenir, cela n'induit il pas que cette approche par les modulos risque d'être une impasse ( dans le cas général ) ?
d'ailleurs, j'ai du mal à voir le lien avec la structure des suites.
cordialement.
wow, insulter l'avenir !!! pourquoi?, ce n'est que des remarques, si u(3) et u(5) et u(7),..., s'écrivent comme somme de somme des chiffres des termes de u(1)et nombre dans une base 9 et qu'elle même s'écrit dans la base 9,càd, qu'il ne faut pas chercher loin au départ jusqu'à être sur que les outils simples ne marche pas ..., complexifier dès le départ ? et tu 'es sur que la démarche probabiliste va défricher le terrain ou n'est qu'une insulter du passé ?
Bonjour,
177 doit converger plus loin.
Dernière modification par akntn ; 25/12/2018 à 13h31.
Pardon, 177 n'appartiendra jamais à U(1) puisque multiple de 3.
c'est 176=2.9²+1.9+5, c'est des remarques (observations en physique).
Dernière modification par azizovsky ; 25/12/2018 à 13h56.
non, ne te méprends pas.
dans mon expression, il faut y voir le fait que je n'exclus pas que la piste puisse aboutir.
quand à mon approche probabiliste, je l'ai laissé tomber.
cordialement.
Non, pas avec toi monsieur ''ansset'', de temps en temps, j'ai envie de prendre le bic au lieu de la disqueuse ou ...
et Bonnes Années .
Dernière modification par azizovsky ; 25/12/2018 à 14h33.
176 converge vers U(1) à 677 (comme un grand nombre de sous-suites).
Bonnes Fêtes.
ces suites ont un petit aspect fractal. Sur l'image jointe j'ai représenté les 2500 premières valeurs de la suite qui part de 1 mais en retirant la "tendance" (c'est-à-dire que les valeurs représentées sont les écarts entre les valeurs de la suite et la droite qui joint le point (1,1) au point (2500,45746), 45746 étant la valeur de la suite au 2500ème rang.
