Degré extension de corps et formule des degrés.

[slivoc]

Bonjour,

Etant donnée deux extensions finies , j' aimerai bien montrer ( si c' est bien vrai) que , ce qui justifie que jamais on ne précise l' extension pour la quelle on regarde le degré, et qui permet dans le cas de la formule des degrés de ne pas préciser les extensions. J' arrive à le montrer dans les cas où ce sont des extensions finies de corps finis, dans le cas où les extensions sont isomorphes et dans le cas où la sous extension est finie, mais pas dans le cas général. J' ai cherché dans les Jeanneret,Tauvel, Bourbaki, etc... mais je n' ai rien trouvé. Si quelqu'un à une piste, je suis preneur !
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[Resartus]

Bonjour,
Je vais peut-être écrire des bêtises, mais il me semble que, même si des extensions de même degré peuvent être isomorphes en tant qu'espace vectoriel sur le corps de départ, elles n'ont aucune raison de l'être en tant que surcorps. Par exemple, les extensions avec i et avec racine(2) sur Q ont des propriétés très différentes,

[slivoc]

Bonjour,

Peut-être que j' ai manqué de clarté, ma question n' était pas de savoir si deux extensions de même degré sont isomorphes en tant que surcorps, mais ( en reformulant en termes d inclusions) de savoir si étant donné deux sous corps isomorphes K,K' inclus dans L, tel que les degrés de L sur K et sur K' soient finis ( peut-être que si l' un des deux est fini alors, on peut au moins montrer que l' autre est nécessairement fini ?), alors le degré de L sur K égal le degré de L sur K' ?

[0577]

Bonjour,

( en reformulant en termes d inclusions) de savoir si étant donné deux sous corps isomorphes K,K' inclus dans L, tel que les degrés de L sur K et sur K' soient finis ( peut-être que si l' un des deux est fini alors, on peut au moins montrer que l' autre est nécessairement fini ?), alors le degré de L sur K égal le degré de L sur K' ?

Soient k un corps et L=k(x) le corps des fractions rationnelles en une indéterminée x à coefficients dans k. Je prends K=L=k(x) et
. Alors K et K' sont des corps isomorphes mais le degré de L sur K est 1 alors que le degré de L sur K' est 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Je n'ai pas compris tous, mais en terme d'inclusion,il y'a le théorème : https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_de_corps
qui est analogue à celle qui existe entres les indices des sous groupes : https://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_d%27un_sous-groupe

[slivoc]

Merci 0577!

[slivoc]

Je n'ai pas compris tous

Je voulais juste savoir, si en général on pouvait "oublier" le morphisme quand on regarde . La réponse de 0577 montre que non et qu' il faut indicer le degré à chaque fois, ou alors il faut écrire et préciser qu' on regarde l' inclusion de j(K) dans L. Par contre, si les extensions sont finis sur leur sous corps premier ou si ( un peu plus généralement) est fini ( où j et j' sont deux extensions), alors là on a bien pour les inclusions.