Application des equations differentielles

[invitea8a84d28]

Bonjour jai un devoir a rendre pour lundi prochain au sujet des equations differentielles, voici le sujet :

Une fregate situee a l’origine dans le plan se deplace a vitesse constante a dans la direction positive le long de l’axe vertical. Au meme moment, un galion au point de coordonnees (c,0) se lance a sa poursuite (en vue d’un abordage) a la vitesse constante b . Montrer, en utilisant le fait que le galion se deplace toujours dans la direction de la fregate, que la position (x,y) du galion satisfait l’equation x*d²y/dx²= (a/b)*sqrt(1 +(dy/dx)²)
Resoudre cette equation, en considerant separement les cas a > b et a < b.

Sans parler de la resolution de l'équation, je n'ai aucune idée de la manière dont retrouver cette equation differentielle. Jai fais un dessin de la situation mais cela ne maide pas plus...

Merci davance pour votre aide !
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[invitedd63ac7a]

Vous pouvez faire une application pratique si vous avez un chien : Vous avancez dans une direction et vous appelez votre chien. Regardez sa trajectoire !
Je ne plaisante pas....

[gg0]

Bonjour.

En passant sur le fait que la frégate (*) s'envole ("...le long de l’axe vertical"), l'idée qui va permettre de traduire la situation est que la trajectoire du galion est une courbe de fonction y=f(x) dont la tangente est dirigée vers la frégate. Mais comme il faut traduire la simultanéité, dans un premier temps, il vaut mieux prendre une courbe paramétrique (x=g(t), y=h(t)) et écrire que sa tangente au moment t passe par la position de la frégate à ce moment.

Cordialement.

(*) la frégate est aussi un oiseau, mais on n'a jamais vu un galion suivre un oiseau
A noter : Historiquement, c'était les frégates qui suivaient les galions, bateaux très lourds; les frégates des pirates rattrapaient facilement les galions espagnols chargés d'or.

[invitedd63ac7a]

En attendons que @Benhure trouve son problème je continue mon histoire canine :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8a84d28]

Merci pour vos réponses!

@eudea-panjclinne je n'ai pas de chien malheureusement mais je vois bien quelle trajectoire on va avoir elle sera de la forme de la courbe de 1/x

@gg0 justement cest au niveau de lequation de la tangente que je bloque et je n'ai aucune idée de comment écrire cela
Et je pense que le plan représente la vue de dessus, et c'est pour ça que l on a une frégate et un galion qui se deplace sans décoller
Merci!

[gg0]

Oui,

je me moquais de l'énoncé, pas de toi.

Si la courbe a pour équations paramétriques x=g(t), y=h(t), un vecteur directeur de la tangente en t=a a pour composantes (g'(a), h'(a)).

Attention, il y a une autre courbe du chien, celle du chien tiré par sa laisse. Dans ce cas, la vitesse du chien n'est pas fixée, c'est sa distance au maître (la sous-tangente) qui est constante.

Cordialement.

[azizovsky]

tu peut faire la démarche inverse pour voir d'où elle provient... : ds²=dx²+dy²

x.dy²/dx²=(a/b). (ds/dx)

on pose : cos(n)=dx/ds et sin(n)=dy/ds

x.dy²/ds².ds²/dx²=a/b.ds/dx

b.x.sin²(n)/cos²(n)=a/cos(n)

b.x.cos(n).tg(n)=a

.....


avec ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Trajec...Liens_externes

bon travail (pas prêt pour continuer..... )

[invitea8a84d28]

Merci, mais ce qui me dérange le plus dans l'équation c'est que je suis censé trouver une dérivée seconde de y selon x mais je ne la retrouve jamais, peut importe ce que je fais, soit en partant du problème de base, soit en prenant l'équation et cherchant d'où elle vient. Le fait que la position du galion ne dépende pas de c (sa position initiale) est assez perturbant aussi

[invitea8a84d28]

J'ai enfin trouvé! Un sujet analogue à la course du chien (la course du bélier) m'a permis de comprendre le raisonnement! Merci beauocup à tous( si jamais j'ai du mal à résoudre cette équation je ferais surement appel à vous )
Bonne soirée!
BEN

[gg0]

Normal que tu ais trouvé : Héhéhé t'a donné la solution.

[invite51d17075]

Il est même tellement connu qu'il est sur wiki.
c'est certainement une raison qui a amené les intervenants à ne pas rentrer dans le détail de la résolution.

[invitea8a84d28]

Il est surement connu, mais je n'ai jamais étudié ce genre de trajectoire, je suis en licence math donc les applications concrètes sont rarement à l'ordre du jour.
Et oui en effet c'est bien Héhéhé qui m'a donné le lien!
Je vous remercie de votre aide!