Application équations différentielles

[invite7c5db5ad]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre le problème suivant:

Quand une goutte de pluie tombe, elle s'évapore en même temps en gardant sa forme sphérique. Si l'on suppose que le taux pour lequel la goutte s'évapore proportionnellement à sa surface, et la résistance à l'air est négligeable, alors la vitesse v(t) de la goutte de pluie est donnée par



où, p est la densité de l'eau, r est le rayon de la goutte de pluie au temps t = 0, k < 0 est une constante de proportionnalité et la direction vers le bas est considérée ici comme la direction positive.

i. Résoudre l'équation ci-dessus, en supposant que la goutte tombe avec un état initial au repos.


Merci beaucoup.
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[invited1be3975]

Qu'as-tu fait?

C'est une équation différentielle classique, tu as du voir en cours la méthode pour la résoudre.
Il faut commencer par résoudre l'équation homogène, voir ce que le g ajoute à cette solution et déterminer la constante grâce à la condition initiale !

[Resartus]

Ne sachant pas quel est votre niveau d'études , je vais supposer que vous avez déjà résolu des équations différentielles à coefficients constants, (ce qui, en France en tout cas, n'est plus du niveau lycée depuis bien longtemps) mais pas encore celles de type x'+a(t).x=b(t)
La résolution est presque la même, sauf qu'il faut trouver une primitive de a(t) qu'on va appeler A(t).
La solution de l'équation homogène est alors de la forme k.exp(-A(t))
Ensuite il faut trouver une solution particulière de l'équation avec second terme. Il y a une méthode générale pour la trouver à partir de b(t) et A(t), mais ici, on peut chercher un polynôme du premier degré qui aille bien...
Puis, conditions aux limites pour régler le coefficient de la solution homogène...

[invite7c5db5ad]

Merci beaucoup!

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