Approximation du nième nombre premier (borne supérieure)

[Meiosis]

Bonjour,

J'ai découvert un peu par hasard une formule qui semble approximer le nième nombre premier avec une borne supérieure plus précise que l'encadrement de Dusart (1) ou qu'une formule dérivée (2). J'aimerais savoir si cette formule est correcte à l'infini, donc avoir des pistes pour la démontrer si possible.
Je vais vous dire comment je l'ai trouvée.

Pour rappel :





La formule :

On part du théorème des nombres premiers et on remarque que k un réel.

J'ai modifié l'expression pour avoir t un réel.

Avec plusieurs simulations pour de très grands nombres premiers il semble que t tende vers 8.17

Ainsi la formule définitive est que ou alors

Mais comme je l'ai dit ça reste de la simulation et rien pour l'infini.

Est-il possible de démontrer/vérifier que l'approximation est toujours correcte et meilleure à l'infini ?

Merci à vous.
-----

[Médiat]

Cf. https://forums.futura-sciences.com/m...-premiers.html

[azizovsky]

pour rappel...

Pour rappel : pour

fonctions de Chebyshev

RIEN AVOIR AVEC LA RELATION (2)

avec la condition que

....si on suppose que l’hypothèse de Riemann est vérifiée....

http://www.unilim.fr/laco/theses/1998/T1998_01.pdf

Dommage, gaspillage du temps ....

[J B B N]

Si on étudie, même superficiellement, les nombres premiers particulièrement en arithmétique modulaire, on remarquera en premier lieu que de tels nombres obéissent à des principes ultra-rigoureux...
Ainsi, je doute fort que la complexité (elle-mêne présente dans cette formule) puisse résoudre le problème concerné avec la moindre précision.
À titre d'exemple, on a les fonctions de compte des nombres premiers, dont le célèbre x/ln(x) pour lequel la précision diminue avec toute croissance sur |N.

[A voir en vidéo sur Futura]