Voisinage et ouvert
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Voisinage et ouvert



  1. #1
    mehdi_128

    Voisinage et ouvert


    ------

    Bonjour,

    Dans mon livre c'est un fouillis pas possible. L'auteur change tout le temps de définition.

    Soit

    Pour un voisinage de , parfois il est utilisé , parfois .

    Pour un voisinage à droite de , parfois , parfois parfois , je n'y comprends plus rien.

    Ces définitions sont équivalentes ?

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Voisinage et ouvert

    Bonjour.

    N'ayant pas le livre sous les yeux, difficile de savoir ce que fait l'auteur. Mais dans tous les cas, ce sont bien des voisinages de a; particuliers. Un voisinage du réel a est une partie de R qui contient un intervalle ]u,v[ contenant lui-même a. Un voisinage à droite du réel a est une partie de R qui contient un intervalle [a,v[ avec v>a.

    Comment se fait-il que tu prennes toujours des livres pas clairs ?

    Cordialement.

  3. #3
    mehdi_128

    Re : Voisinage et ouvert

    Le livre est clair mais dans le chapitre de continuité ça change tout le temps avec les voisinages. Ce livre n'est pas à la portée de tous les élèves, il demande un travail important de recherche et de réflexion. Par exemple, les exemples donnés ne sont pas démontrés, il faut chercher soi-même. Les solutions des exercices sont succinctes.

    Comme la définition avec la limite et les epsilons, parfois c'est parfois mais j'ai démontré que c'était équivalent.

    Un voisinage de est tout intervalle qui contient un ouvert contenant .

    contient qui contient donc c'est bien un voisinage de .

    Montrons que est un voisinage de a.

    En s'aidant d'un schéma, on voit bien que donc c'est bien un voisinage de .

    Par définition, est un voisinage de car

    Donc cela voudrait dire que d'après votre définition n'est pas un voisinage à droite de ? Il ne peut pas contenir un intervalle du type car ?
    Dernière modification par mehdi_128 ; 25/08/2019 à 14h19.

  4. #4
    mehdi_128

    Re : Voisinage et ouvert

    Voici un passage, qu'en pensez-vous ?

    Nom : def.png
Affichages : 621
Taille : 433,3 Ko

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Voisinage et ouvert

    Il n'y est pas question de voisinage.

    Je te laisse réfléchir sérieusement au pourquoi a est dans l'intervalle pour la continuité, et pas pour la limite (même si ce n'est pas la définition que je préfère quand f est définie en a).

  7. #6
    mehdi_128

    Re : Voisinage et ouvert

    J'ai une idée mais je ne suis pas sûr.

    Pour montrer que est continue en il faut montrer que

    Notons que :

    es continue à droite en si est continue en ce qui s'écrit : car

    Donc c'est simplement pour que l'expression soit bien définie ?

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Voisinage et ouvert

    La notion utile à haut niveau est celle de continuité (les fonctions continues sur un intervalle non réduit à un point ont des tas de propriétés utiles). Et évidemment, la continuité en a suppose que f est défini dans un voisinage de a.
    Ensuite, on a besoin de la notion de limite pour savoir ce qui se passe "au bout", par exemple pour l'exponentielle en -oo et +oo, pour ln, ce qui se passe en 0 et +oo. Pour cela, la notion de limite épointée est utile, par exemple en 0 pour ln, demander que l'on travaille sur un [0; r] (ou [0;r[) n'a pas de sens, ln n'existe pas en 0. On utilise alors une définition de la limite en a qui fait qu'on ne s'occupe pas de savoir si f(a) existe ou pas. Mais on le paie par le fait que la fonction peut avoir une limite en a, mais ne sera pas continue, car cette limite n'est pas f(a).

    En général, dans le supérieur, on préfère utiliser une notion de limite où, si f(a) existe, la limite ne peut qu'être f(a), et limite finie en a signifie continuité en a. C'est d'ailleurs ce qui est cohérent avec les notions plus générales de limite et continuité en topologie.

  9. #8
    mehdi_128

    Re : Voisinage et ouvert

    Ok merci.

    Mon livre précise quelques pages après : "Le lecteur pourra vérifier que toutes les notions de limites vues précédemment sont valables pour des intervalles épointés."

  10. #9
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Voisinage et ouvert

    Bonjour,

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Comment se fait-il que tu prennes toujours des livres pas clairs ?
    En fait, on pourrait demander à mehdi_128 la liste de ses livres, ça permettrait de faire une liste noire à éviter pour les autres étudiants
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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