Extremum relatif ou local

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit une fonction. Si :
est un point de l'intérieur de
La fonction est dérivable en
La fonction admet un extremum relatif en
Alors

Une question sur la remarque suivante :

Bien noter que le théorème précédent ne s'applique pas aux extrémités de ...

Mise à part que le principe de démonstration requiert que les ensembles et soient non vide. Y a t-il d'autres raisons plus logiques ?
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[gg0]

Simplement le fait que la conclusion est fausse si a est une extrémité d'intervalle.

[mehdi_128]

Parce qu'un extremmum relatif n'est défini que sur un intervalle du type avec ?

[gg0]

Non !!

La fonction f de [0,1] dans R définie par f(x)=x a des extremums relatifs (*) en 0 et 1.

Cordialement.

(*) ils sont même globaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

@Medhi:

La fonction admet un extremum relatif en
Alors
Une question sur la remarque suivante :

Bien noter que le théorème précédent ne s'applique pas aux extrémités de ...

c'est le sens de l'implication qu'il faut voir ici.
extremum relatif => f'(a)=0 ne s'applique pas aux extrémités de I
en revanche, sur un intervalle [a;b], l'implication inverse s'applique partout.

[gg0]

Heu ... non, pas plus. La dérivée peut s'annuler sans qu'il y ait un extremum, comme x-->x^3 en 0.

Un bon théorème est : Si f est définie sur un intervalle et a est un réel contenu dans l'intérieur de l'intervalle, si f a un extremum local en a et est dérivable en a, alors f'(a)=0.

Mais les extremums peuvent se situer ailleurs que là où la dérivée s'annule; et la dérivée peut s'annuler sans qu'il y ait extrémum; enfin, il peut arriver qu'une fonction définie et dérivable sur un intervalle [a, b] ait un extremum local en a ou en b avec dérivée nulle.

[invite51d17075]

olala, pas réveillé moi !

[invite51d17075]

en fait, je pensais initialement aux bornes d'un intervalle ( ce qui intriguait Medhi ), pour lesquels l'annulation de la dérivée représente un extrema.
et j'ai écrit pour tout point comme un ..... abruti.

[mehdi_128]

Ah d'accord merci @GGo votre exemple montre bien pourquoi ne doit pas être une extrémité.

Parce que ma définition de maximum local est : admet un maximum local en s'il existe tel que .

@Ansset

La fonction définie sur , sa dérivée s"annule en mais n'admet ni maximum relatif ni minimum relatif en .

[invite51d17075]

@Ansset

La fonction définie sur , sa dérivée s"annule en mais n'admet ni maximum relatif ni minimum relatif en .

je me suis bien rendu compte de ma grosse boulette plus haut.
j'ai précisé ensuite qu'au départ je ne voulais parler que des extrémités des intervalles et j'ai "ripé".
d'ailleurs, même mon dernier post est inutile aussi sur ce point.