Bonsoir,
J'éprouve des difficultés avec ces 2 exercices.
Pour le premier :
1. Je pense montrer que lim(x->0-)=lim(x->0+) ? Est-ce suffisant ?
2. Là, je ne sais pas du tout...
Pour le deuxième :
Notre professeur a donné en cours une fiche méthode pour résoudre des équations différentielles : je pensais à la méthode de la variations de la constante ? Est-ce bien cela ? Mais je n'y arrive pas avec cette méthode...
Merci beaucoup pour l'aide.
Bonjour.
Pour la 1 : Pourquoi compliquer ? Que veut dire "f est continue" ? Pourquoi est elle continue en tout réel a non nul ? Pourquoi est-elle continue en 0 ?
Et non, ce n'est pas suffisant. Si tu prends la même définition mais avec f(0)=1, tu auras les mêmes résultats, mais la fonction est discontinue.
Pour la 2 : tu as un travail à faire, tu le fais. On pourra t'aider si tu butes, mais si tu sais ce que veut dire "C oo", il ne te reste qu'à vérifier la définition.
Bon travail personnel !
Merci pour la réponse !
J'ai compris la question 1. Pour la question 2, je dois montrer que f est infiniment dérivable sur R* donc sur R privé de 0. Je dois donc vérifier que f sur R* est bien infiniment dérivable, mais comment vérifier cela ?
C'est une conséquence immédiate des propriétés de ton cours. f est la composée de deux fonctions infiniment dérivables ...
Oui, compris, merci beaucoup !
Pour la 3 j'ai fait un raisonnement par récurrence qui a l'air de fonctionner...
Par contre, pour la 4, je ne vois pas du tout... Avez-vous une idée ?
En fait, la question 3 est mal rédigée : C'est sur R* que la dérivée s'écrit ainsi. Et f a cette forme complétée par sa limite en 0, ce qui donne les résultats.
Merci pour la réponse.
C'est-à-dire "cette forme complétée par sa limite en 0" ? Je ne comprends pas ce que vous voulez dire...
Tu n'as jamais entendu parler de prolongement par continuité ? Si une fonction est définie sur I-{a} où a est dans l'intervalle I, et a une limite b en a, alors on définit une fonction continue sur I en prenant f(x) pour x différent de a, et b pour x=a.
C'est ce qui se passe ici, la dérivée n-ième est le prolongement par continuité de ta dérivée.
Si tu n'as pas le théorème de prolongement de la dérivée, il te faut prouver que la dérivée n-ième en 0 est 0 par le calcul direct (c'est très simple), ce qui assurera ce que je disais.
Bon travail !
Je connais le prolongement par continuité, mais pas le prolongement par continuité de la dérivée...
????
La dérivée n'est pas une fonction ?????
Allez, mets-toi au travail sans attendre.
Oui, je m'y mets.
Et j'ai regardé la question 5 : on utilise bien la formule de Taylor-Young ? Mais comment faire : comme c'est à l'ordre n on ne s'arrête jamais ?!
EDIT :
J'ai réussi la question 5 (avec le DL), mais toujours pas la question 4 !
Je ne comprends pas ce qu'il faut faire pour la 4... Il faut calculer la limite de f^n(x) quand x tend vers 0 ?
Il ne faut pas plutôt calculer la limite du taux d'accroissement de f^n(x) quand x tend vers 0, soit lim quand x tend vers 0 de [f^n(x)-f^n(0)]/x ?
Je suis vraiment perdu pour cette question 4...
Récapitulatif de là où j'en suis pour ces 2 exercices :
Exercice 1 :
1, 2, et 3 : OK.
4. Cette question me pose problème, j'ai, grâce à votre aide, 2 idées : Il faut calculer la limite de f^n(x) quand x tend vers 0 ? Soit la limite quand x tend vers 0 de l'expression de P^n (x)/x^(3n) exp (-1/x²) où Pn est un polynôme ? C'est ça qu'il faut faire ?
Ou il faut plutôt calculer la limite du taux d'accroissement de f^n(x) quand x tend vers 0, soit lim quand x tend vers 0 de [f^n(x)-f^n(0)]/x ?
Je suis vraiment perdu pour cette question 4... Et comment montrer que f est indéfiniment dérivable sur R à l'aide de la question 3 (c'est la première partie de la question 4) ?
5 et 6 : OK.
Exercice 2 :
1. Je dirais que l'équation (E) admet pour solutions les fonctions x-> C*exp(-(2*ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R. Est-ce correct ? C'est que ça qu'il faut répondre pour la 1 du 2 ?
2. Par contre, aucune idée pour cette question, je ne la comprends pas...
Merci vraiment beaucoup pour l'aide !
Pour démontrer que f est infiniment dérivable, tu dois montrer qu'elle a des dérivées à tout ordre. Pour cela, tu vas utiliser les résultats précédents pour, par exemple, démontrer par récurrence que la dérivée n-ième existe. Comme tu sembles perdu, il te faut examiner déjà au brouillon le cas n=1, voire n=2. Tu verras quelle hypothèse de récurrence tu dois mettre en place pour ce faire.
je te rappelle, l'énoncé de la question 3 est incomplet, c'est "la dérivée sur R*" qu'il aurait fallu écrire. L'expression proposée n'a aucun sens pour x=0.
NB : Inutile de crier (mettre en majuscules, ou en lettres plus grosses; tu fais les deux). On n'est pas tes employés, et tu as lu le règlement du forum, tu as même signé. Lis https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html.
Merci pour la réponse.
Pour le raisonnement par récurrence, dans l'initialisation, je veux montrer que la limite quand x tend vers 0 de (exp(-1/x^2))/x est 0, mais c'est une forme indéterminée...
Comment faire ?
Comme d'habitude : La calculer. C'est bien quand il y a des formes indéterminées qu'on calcule des limites.
Tu peux éventuellement poser t=1/x² et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
J'ai un problème : le cas des croissances comparées ne fonctionne pas pour t tend vers + infini !
Comment faire ?
ben si, ici on retrouve une forme du genreEnvoyé par srvo2021
(t^3)e(-t) en +l'inf.
c'est ça, mais ça se simplifie beaucoup.
et la 2) découle de la 1)
Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
Alors que peut-on faire pour simplifier dans la première question de l'exercice 2 ?
Et j'ai vu que la 2 a un lien avec la 1... Il faut faire un calcul de limite en 0 pour la fonction trouvée et sa dérivée ?
Je n'ai pas encore réussi ces calculs... Alors comment faire ?
Merci beaucoup !
exp(a+b)=exp(a)exp(b)
C*exp(-(2*ln(x)+1/x)) peut donc s'écrire
(C/x²)exp(-1/x)
ps: l'écriture avec les ln n'est pas très propre, car x peut être négatif.
D'accord, merci beaucoup !
Et finalement, quoi faire pour la question 2 de l'exercice 2 ?
à vrai dire je me pose un peu la question.
ces fonctions étant du même type que la fonction du premier exercice.
on peut faire des démos similaires.
à moins que qcq chose m'ait échappé ( possibilité non nulle )
