Bonjour,
Je dois démontrer que l'ensemble E des (x,y) tels que x.y>1 est un ouvert.
Je n'arrive pas à trouver d'expression simple pour déterminer une boule de centre (x,y) appartenant à E dans une norme quelconque qui soit toujours dans E.
La voie est elle alors de partir sur le complémentaire de E Ec pour lequel xy<=1 et de montrer que toute suite de Ec a sa limite incluse dans Ec?
Merci.
Tu connais le théorème sur l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue ?
Non. On est tout au début du cours
Bonjour.
Tu peux décomposer en deux ouverts A et B suivant le signe de x. Pour A (x>0), la condition revient à y>1/x. Pour un point (a,b) avec b>1/a, tu peux considérer la boule de centre (a,b) de rayon r, plus précisément le cercle d'équation (x-a)²+(y-b)²=r² qui la limite, et chercher à quelle condition sur r ce cercle ne coupe pas l'hyperbole d'équation y=1/x. la boule ouverte correspondante est entièrement contenue dans A, qui est donc un ouvert. Puis tu fais la même chose pour B;
Bon travail !
Ok... Je vois, je vais m'y atteler. Merci.
Oh, ça marche plutôt bien avec la norme de degré 1.
C'est cool. Merci.
