Démontrer qu'un nombre est presque entier

**Meiosis** · 04/12/2019, 20h54

Bonjour,

J'ai élaboré une conjecture que j'aimerais vérifier/démontrer mais je ne sais pas comment procéder. En voici l'énoncé.

Soit $\text{[math]}$ l'indicatrice d'Euler, $\text{[math]}$ la somme des diviseurs de $\text{[math]}$ , un entier naturel tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un entier naturel, alors on a : $\text{[math]}$

Autrement dit la division euclidienne de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ donnerait un reste presque entier avec un nombre de zéros après la virgule égal à la moitié de $\text{[math]}$ .

Par exemple pour n=8 on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Donc on a 4 zéros après la virgule car 4 est la moitié de $\text{[math]}$ .

J'aimerais vérifier cette conjecture, je ne sais pas comment l'infirmer/la valider car les calculs pour n=4 bloquent, les nombres mis en jeu sont trop grands et même wolframalpha bug.

J'espère que vous pourrez m'aider, je n'ai pas idée du niveau d'une telle démonstration si cela existe.

Merci d'avance.

Cordialement.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 05/12/2019, 11h53

Bonjour,

première remarque, mets des parenthèses car là c'est assez illisible. En effet, l'écriture $\text{[math]}$ n'a pas de sens. Ce que tu souhaites calculer c'est $\text{[math]}$ , ce qui est davantage lisible. De même avec les factorielles... que signifie $\text{[math]}$ ? Je pense que tu veux écrire $\text{[math]}$ . Si tel est le cas, je continue.

$\text{[math]}$ est le nombre d'entiers premiers avec n et inférieur à n. À quelle condition un entier inférieur à $\text{[math]}$ est premier avec $\text{[math]}$ , avec k>0 ?

Cliquez pour afficher

[/SPOILER]
De même, $\text{[math]}$ compte la somme des diviseurs de n. Quels sont les diviseurs de $\text{[math]}$ pour k>0?

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**Meiosis** · 05/12/2019, 14h47

Bonjour et merci pour ta réponse.

En fait je me suis trompé dans mon post initial, j'obtiens 512,000015258... non pas avec n=8 mais avec n=3. Cependant j'ai refait ton calcul avec n=3 et je n'obtiens pas 512,000015258...
Bizarre car sous wolframalpha j'obtiens 512,000015258 pour n=3 : https://www.wolframalpha.com/input/?...8%29+mod+8%5E8

**ansset** · 05/12/2019, 17h42

@Roberto:
je pense que tu as fait une erreur dans l'expression de $\text{[math]}$
faute de frappe entre le $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Meiosis** · 05/12/2019, 20h54

Effectivement l'erreur vient de l'expression de $\text{[math]}$ car en faisant $\text{[math]}$ je ne trouve pas zéro alors que les deux expressions sont censées être équivalentes. Par contre l'expression de sigma au dénominateur est correcte.

J'aimerais au moins vérifier la conjecture moins forte que les restes obtenus sont des presque entiers, sans condition sur le nombre de zéros après la virgule.

@ansset : je ne peux plus t'envoyer de MP car il faut que tu libères un peu de place dans tes MP reçus.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 06/12/2019, 12h14

Bonjour,

en effet j'ai fait une étourderie sur le calcul de phi.

En tout cas, je pense qu'en reprenant les pistes que je t'ai donné, tu peux la corriger et comprendre pourquoi tu obtiens des résultats presque entiers. Au numérateur tu devrais avoir une puissance de deux et au dénominateur une puissance de deux moins un, donc presque une puissance de deux. Ainsi le quotient sera presque égal à une puissance de deux. Tu peux peut-être encadrer l'erreur obtenue lorsque tu auras la formule de calcul de phi sur sigma.

Bon courage.

RoBeRTo

**ansset** · 06/12/2019, 12h46

Oui, c'est ça, d'ailleurs ça explique que le résultat modulo"truc" est très proche d'une puissance de 2.
( comme 512 pour n=3 ).

Edit : en fait tu viens de le dire explicitement, mais je laisse quand même.

**Meiosis** · 06/12/2019, 16h23

Merci je vais regarder ça.

**ansset** · 06/12/2019, 16h54

moi aussi ( par curiosité ) ! je veux dire plus explicitement.

**Meiosis** · 06/12/2019, 17h05

Sinon pour la condition sur le nombre de zéros après la virgule je ne sais pas ce qu'il en est.

**ansset** · 06/12/2019, 17h41

avant ça, je veux vérifier qu'on tombe bien sur une puissance de 2 , naturellement.

**ansset** · 06/12/2019, 19h32

je parle bien du reste de la division euclidienne, pas du ratio global.

**ansset** · 07/12/2019, 11h42

ça fonctionne, mais il faut calculer un peu.
après une première simplification on a :
$\text{[math]}$
soit:
$\text{[math]}$
prenons n=3.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
il faut faire le DL du dénominateur pour obtenir le reste .(*)
on sait que
$\text{[math]}$
il faut que x^n "annule" le 12910.
ici avec $\text{[math]}$ , donc les termes sont en 2 puissance "multiple de -25".
Or, 25*4837=12910+15 le 4838 terme de la suite donne x^(-12910-15).

et 24-15=9,
le reste est donc bien très proche de 2^9=512.
et on peut même estimer la précision

(*) c'est tout le coté "pas très fun" de l'exercice.

**ansset** · 07/12/2019, 12h34

je corrige un mal dit :

Envoyé par ansset

il faut que x^n "annule" le 12910.

On cherche le premier n tel que x^n >= 12910.
Et le suivant donnera la précision.

**ansset** · 07/12/2019, 13h22

la précision est donc donnée par le terme suivant qui est en $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
qui est de mémoire le chiffre donné par MP.

**Meiosis** · 07/12/2019, 20h04

Merci ansset pour ces précisions, je vais essayer de faire le calcul pour n=4.

**ansset** · 07/12/2019, 20h30

comme je l'ai mal dit, pour le modulo cela revient à faire la division euclidienne de
$\text{[math]}$
et comme le reste k devient $\text{[math]}$
le résultat est bien une puissance de 2. ( à un pouillième )
quand au reste , je te laisse y réfléchir, car on connait le terme suivant.

**ansset** · 07/12/2019, 21h03

ma conclusion est que pour le reste on ne sait vraiment où il est compris.
donc, si le modulo est bien une puissance de 2, rien ne dit que le reste soit négligeable.

**Meiosis** · 08/12/2019, 08h12

J'ai une question pour une démonstration alternative.

Est-il possible d'utiliser cette formule ?

$\text{[math]}$

**ansset** · 08/12/2019, 11h38

je n'ai pas vérifié si c'est juste.
en tout cas , ça n'aide pas.
il faut repartir de mon post #17 ( en espérant ne pas avoir fait de faute de frappe )
il donne à la fois la puissance k (de 2) du reste de la première division euclidienne et indirectement , avec le terme suivant du DL la "précision".(*)
je vais essayer de faire une simu avec exel pour n=3 à 10

(*)qui est aussi tj en puissance de 2, mais qui dépend du k précédent.

**Meiosis** · 08/12/2019, 14h39

Ok je vois. Je vais repartir de ton message #17.

**ansset** · 08/12/2019, 15h45

Alors, j'en profite pour corriger des erreurs

Envoyé par ansset

comme je l'ai mal dit, pour le modulo cela revient à faire la division euclidienne de
$\text{[math]}$

lire :
$\text{[math]}$
en espérant être OK ce coup ci.

**Meiosis** · 09/12/2019, 03h58

Dans le même genre : $\text{[math]}$ n'est entier que pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Est-ce que pour le montrer je peux utiliser le fait que $\text{[math]}$ est impair ?

**ansset** · 09/12/2019, 09h19

avant de se lancer dans une autre conjecture (*)
j'ai vérifié ( sur excel ) pour n=4.
4*2^4=64.
j'obtiens 2^63 et comme reste 0,25 , on est loin du chiffre "presque entier".
pour les n supérieurs , excel semble dépassé car il ne renvoi que des valeurs exactes ( ce qui me semble incongru )

(*) parce que des conjectures , on peut en imaginer 10/jours et demander ensuite aux autres de les vérifier ( ou pas ).

**Meiosis** · 09/12/2019, 10h27

Je vais relire le raisonnement entier parce qu'il me semblait qu'on pouvait prouver que c'est presque entier. Je dois avoir mal compris quelque chose.

**ansset** · 09/12/2019, 11h29

Si tu peux d'abord vérifier mon calcul pour n=4... par programme.
je me méfie un peu d'excel sur les grands chiffres

**Meiosis** · 09/12/2019, 14h47

J'essaye d'abord de le refaire pour n=3 mais je ne trouve pas comment tu as fait.
En lisant ton message #22 j'obtiens 10 comme reste.

**ansset** · 09/12/2019, 15h06

comment puis je deviner quels sont tes calculs. ?
je vais quand même vérifier si je n'ai pas fait de faute de frappe qcq part.
ceci dit je trouve bien 9 soit donc 2^9 qui correspond au 512 de ton programme.

**Meiosis** · 09/12/2019, 15h14

Je fais $\text{[math]}$

**ansset** · 09/12/2019, 15h43

je ne comprend pas.
$\text{[math]}$
j'arrondi à la valeur supérieure soit 4837
$\text{[math]}$
donc le dernier terme "utile" de la suite du DL est en $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$

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