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Démontrer qu'un nombre est presque entier



  1. #1
    Meiosis

    Démontrer qu'un nombre est presque entier


    ------

    Bonjour,

    J'ai élaboré une conjecture que j'aimerais vérifier/démontrer mais je ne sais pas comment procéder. En voici l'énoncé.

    Soit l'indicatrice d'Euler, la somme des diviseurs de , un entier naturel tel que et un entier naturel, alors on a :

    Autrement dit la division euclidienne de par donnerait un reste presque entier avec un nombre de zéros après la virgule égal à la moitié de .

    Par exemple pour n=8 on a : et
    Donc on a 4 zéros après la virgule car 4 est la moitié de .

    J'aimerais vérifier cette conjecture, je ne sais pas comment l'infirmer/la valider car les calculs pour n=4 bloquent, les nombres mis en jeu sont trop grands et même wolframalpha bug.

    J'espère que vous pourrez m'aider, je n'ai pas idée du niveau d'une telle démonstration si cela existe.

    Merci d'avance.

    Cordialement.

    -----
    Dernière modification par Meiosis ; 04/12/2019 à 21h55.

  2. Publicité
  3. #2
    RoBeRTo-BeNDeR

    Re : Démontrer qu'un nombre est presque entier

    Bonjour,

    première remarque, mets des parenthèses car là c'est assez illisible. En effet, l'écriture n'a pas de sens. Ce que tu souhaites calculer c'est , ce qui est davantage lisible. De même avec les factorielles... que signifie ? Je pense que tu veux écrire . Si tel est le cas, je continue.

    est le nombre d'entiers premiers avec n et inférieur à n. À quelle condition un entier inférieur à est premier avec , avec k>0 ?

     Cliquez pour afficher

    [/SPOILER]
    De même, compte la somme des diviseurs de n. Quels sont les diviseurs de pour k>0?

     Cliquez pour afficher

  4. #3
    Meiosis

    Re : Démontrer qu'un nombre est presque entier

    Bonjour et merci pour ta réponse.

    En fait je me suis trompé dans mon post initial, j'obtiens 512,000015258... non pas avec n=8 mais avec n=3. Cependant j'ai refait ton calcul avec n=3 et je n'obtiens pas 512,000015258...
    Bizarre car sous wolframalpha j'obtiens 512,000015258 pour n=3 : https://www.wolframalpha.com/input/?...8%29+mod+8%5E8

  5. #4
    ansset

    Re : Démontrer qu'un nombre est presque entier

    @Roberto:
    je pense que tu as fait une erreur dans l'expression de
    faute de frappe entre le et
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    Meiosis

    Re : Démontrer qu'un nombre est presque entier

    Effectivement l'erreur vient de l'expression de car en faisant je ne trouve pas zéro alors que les deux expressions sont censées être équivalentes. Par contre l'expression de sigma au dénominateur est correcte.

    J'aimerais au moins vérifier la conjecture moins forte que les restes obtenus sont des presque entiers, sans condition sur le nombre de zéros après la virgule.

    @ansset : je ne peux plus t'envoyer de MP car il faut que tu libères un peu de place dans tes MP reçus.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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