Démontrer qu'un nombre est un entier naturel

[Venus01]

Bonjour,

Comment démontrer qu'un nombre est un entier naturel?
Je sais par exemple que l'on peut montrer qu'un nombre est paire si il est de la forme x= 2k avec k appartenant à N.
Y a-t-il une propriété similaire pour démontrer qu'un nombre est entier naturel?
-----

[Merlin95]

Si un nombre est un entier naturel, ca se montre à partir de sa définition. De quel nombre ou genre de nombre vous vous posez peut-être la question ?

[gg0]

Bonjour Venus01.

Si tu montres que x= 2k avec k appartenant à N, tu montres que x est un entier (pair).
Pour certaines classes de nombres, il y a une méthode évidente, par exemple pour un rationnel, on l'écrit sous la forme d'une fraction a/b en nombres entiers. Si b divise a, c'est un entier. Pour certains nombres très compliqués, ce peut être très difficile de savoir si ce sont des entiers.

Cordialement.

[Venus01]

En fait jai un exercice sur les coefficients binomimiaux:
Dans la première question j'ai démontré :
(n) ( n ) (n+1)
(p) + (p+1) = (p+1 ) pour n€N* et p={0,...,n}.

Ma deuxième question est :
En déduire que:
(n) €N* pour n€N* et p={0,...,n}.
(p)

Je voulais y faire par récurrence mais je ne sais pas quelle proposition démontrée...

Désolé si les p parmi n sont décalés je ne sais pas comment on peut les écrire correctement .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu peux le faire par récurrence sur p, puisque tu sais que pour p=0, C(n,p) =1, qui est entier.

Cordialement.

NB : Il y a d'autres méthodes, selon ta définition des coefficients binomiaux et ce que tu sais. Par exemple si tu sais que ce sont des "nombres de ..), il n'y a rien à démontrer.

[ansset]

Je voulais y faire par récurrence mais je ne sais pas quelle proposition démontrée...

si j'ai compris ( à confirmer ) tu veux montrer que les C(n,p) notés ou sont entiers.
on peut le faire par récurrence sur n, pour tout
-initialisation à faire ( je te laisse )
et pour la récurrence , remarquer entre autre que


ps : ceci est à compléter bien sur.

[Venus01]

Donc ma proposition serait :"p parmi n est un entier naturel"
Dans l'initialisation je dois démontrer que p parmi 0 est un entier. (Et comme n=0 alors p=0 donc je trouve 1).
Dans l'hérédité je dois montrer p parmi n+1 est un entier naturel ou p+1 parmi n+1 est un entier naturel?

PS: comment fait tu pour écrire les coefficient binomiaux correctement?

[gg0]

Pour l'écriture des coefficients binomiaux, voir le lien sur LaTeX. Tu peux aussi cliquer sur "répondre" dans nos messages pour voir le code. La balise est obtenue en cliquant sur l'avant dernier emplacement dans la barre au dessus de la zone de texte (totalement blanche chez moi)
Pour la récurrence, c'est ça.

Mais si ta définition de est "le nombre de façons de prendre p objets parmi n", c'est par définition un entier. Par contre, si la définition est donnée par des factorielles, il y a bien une preuve à faire.

Cordialement.

[Venus01]

Merci beaucoup

En effet la définition des coefficients m'est donnée grâce aux factorielles.

En revanche,dans l'hérédité, je ne sais toujours pas si il faut démontrer:

1. est un entier

ou

2. est un entier

[Médiat]

Bonjour,

Pour répondre à votre question, il suffit de se souvenir que la récurrence s'applique à une formule , dépendant d'une variable réelle, ici, votre formule est :

[ansset]

bjr.

Donc ma proposition serait :"p parmi n est un entier naturel"
Dans l'initialisation je dois démontrer que p parmi 0 est un entier. (Et comme n=0 alors p=0 donc je trouve 1).
Dans l'hérédité je dois montrer p parmi n+1 est un entier naturel ou p+1 parmi n+1 est un entier naturel?

Je suppose qu'on te demande de montrer que pour n et tout , est un entier.
Pour cela, je te propose ( comme au mess précédent ) de faire une itération sur n.
A savoir :
-la propriété est vraie pour n ( c-a-d pour tous les p avec un n fixé )
=> la propriété est vraie pour n+1.
utiliser la formule que je t'ai donné plus haut est utile, mais pas totalement suffisante.....(*)
( en particulier pour les et )
et il faut faire aussi l'initialisation

(*) il est nécessaire aussi de la démontrer.

[gg0]

Venus01,

tu as deux propositions possibles de récurrence. Vu la formule que tu veux utiliser, la proposition d'Ansset est la plus pratique. Partant de "Pour tout p entre 0 et n, C(n,p) est un entier", tu vas démontrer "Pour tout p entre 0 et n+1, C(n+1,p) est un entier". Attention il faut démontrer que c'est vrai pour tout p, et il y a un cas particulier pour p=0. Bien évidemment, on initialise, par exemple pour n=0 ou 1.

Cordialement.

[Venus01]

Merci beaucoup à tous.
Je vais essayer avec tous les conseils que vous m'avez donné.
Si j'ai de nouveau un problème je reviendrais vous posez des questions.

[Venus01]

Désolé de vous déranger à nouveau...
j'ai réussi à initialiser mais pour l'hérédité je bloque.

Avec peu de calculs, je me retrouve avec :

On sait que est un entier naturel par le principe de récurrence.

Or pour que soit un entier naturel, il faut que le soit aussi. Mais je n'arrive pas à le démontrer.

Suis-je sur la bonne voie ou me suis-je égaré?
Et dans les deux cas pouvez-vous me donner des précisions sur la suite de la démarche.

[Médiat]

Votre réponse est dans la question 1, que vous citez dans votre message #4

[Merlin95]

A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers.

[Venus01]

Votre réponse est dans la question 1, que vous citez dans votre message #4

Je ne vois pas en quoi cela peut m'aider à prouver que (n+1)/(n+1-p) est un entier naturel...

[Venus01]

A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers.

Je ne peux pas m'en servir car le but final de l'exercice est de démontrer la formule de Newton.

[gg0]

En général, " (n+1)/(n+1-p) n'est pas un entier naturel.."

Utilise la propriété que te propose Ansset et que je t'ai conseillée dans les messages #8 et #12. Plus le résultat de la question 1, qui permet de dire que si C(n,p) et C(n,p+1) sont des entiers, alors leur somme C(n+1,p+1) est un entier naturel.

Cordialement.

[Venus01]

J'ai enfin réussi ma démonstration. Je vous remercie pour votre patience et vos conseils.

Je n'y arrivais pas car mon prof a fait une faute dans l'énoncé. Pour cela vos p étaient mes n et inversement. Je croyais donc faire comme vous me le disiez alors que ce n'était pas le cas.

Encore merci à tous.

Cordialement

[minushabens]

annulé .......................

[ansset]

Je n'y arrivais pas car mon prof a fait une faute dans l'énoncé. Pour cela vos p étaient mes n et inversement.

remarque de détail.
le prof ne s'est pas forcement trompé, car il existe deux notations.
et
les hauts et bas sont inversés selon la notation.

[Venus01]

Mon prof a marqué dans l'énoncé :
=

[gg0]

Effectivement, c'est une erreur de notation.

Cordialement.

NB : Il manque le ! après (n-p)

[Venus01]

Oui j'ai en effet oublié le !

Du coup je voulais vous montrer ma démonstration pour voir si je n'ai pas fait d'erreur ou de déduction trop rapide.
Je rappelle juste que l'énoncé me défini par:
= avec n!=1.2.3...n et 0!=1.
J'ai aussi démontrer dans une question précédente que =+.

Pn:"€N pour n€N* et p€{1;...;n}"

Initialisation:
Démontrons que P(0) est vraie.
Si n=0 alors p=0 et p-1=0.
Donc ====1
Or 1€N.
Donc €N et €N.
Donc p(0) est vraie.

Hérédité:
Supposons qu'il existe un n€N* tel que Pn soit vraie c'est-à-dire tel que €N pour p€{1;...;n}.
Démontrons que P(n+1) est vraie c'est-à-dire tel que €N pour p€{1;...;n+1}.

Pour p€{1;...;n-1}: =+ <=> =+
Or =+ est bien défini pour p€{1;...;n}

Donc si p€{1;...;n}:
=+
Or, €N et €N.
De plus, la somme de deux entiers naturels est égale à un entier naturel.
Donc €N.

Si p=n+1:
Alors pour tout n€N*:
==1
Or 1€N.
Donc €N.

Grâce au principe de récurrence, nous avons démontré que P0 est vraie et que si Pn est vraie pour un n€N* alors P(n+1) est vrai.
Donc Pn est vraie pour n€N* c'est-à-dire que €N pour n€N* et p€{1;...;n-1}.

Si p=0:
Alors pour tout n€N*:
==1
Or 1€N.
Donc €N

Pour conclure nous pouvons donc affirmer que €N pour n€N* et p€{0;...;n}.

[ansset]

qcq ajustements à faire :

J'ai aussi démontrer dans une question précédente que =+.

ceci n'est valable que pour p<n , le cas p=n ne peut s'écrire ainsi.

Pn:"€N pour n€N* et p€{1;...;n}"

il faut montrer que tous les coeff sont entiers donc p=0 doit être inclus dans la démo.

pour simplifier le tout, tu peux écrire en introduction que pour tout n

et ensuite faire la démo de récurrence avec 0<p<n.

ps: ton initialisation est bizarre.
si n=0 on ne traite que le cas

[Venus01]

Ok alors je mets:

On pose ==1 pour tout n€N*.

Pn:".... p€{0,...,n}"

Initialisation:
...
si n=0 alors p=0.
Donc ==1
...

Hérédité:
Supposons ... p€{0;...;n}
Démontrons ... p€{0;...;n+1}

...

J'inclue le cas p=0 dans la démo.

Je conclue e t c'est bon?

[ansset]

En fait, j'avais mal lu ta démo ,
tu traites bien séparément les cas et mais à la fin.
ce que j'aurai plutôt mis au début ( le mentionner pour tout n )
et traiter ensuite.
et dérouler avec les additions.

d'ailleurs je crois que tu as écrit ...;n-1} au lieu de n au milieu.