Montrer que la famille de fonctions f(x) = exp(x) est libre

**Ukaneb** · 21/12/2019, 18h07

Hello,

Une autre question que je n'arrive pas a demontrer...

La question:
Screenshot 2019-12-21 at 7.11.01 PM.png

J'ai essaye un raisonnement par l'absurde:

Screenshot 2019-12-21 at 7.09.33 PM.png
ce qui est possible car a dans R...

Une autre idee? Ou une erreur dans mon raisonnement?

Merciii

**Ukaneb** · 21/12/2019, 18h18

Desole une erreur s'est glissée
Le dernier terme n'est pas i=0 mais a=0

**ansset** · 21/12/2019, 18h31

ce n'est pas lisible.
As tu voulu écrire cela :
La question: Montrer que la famille de fonctions $\text{[math]}$ est libre.

J'ai essaye un raisonnement par l'absurde:

Si la famille n'est pas libre $\text{[math]}$

je ne peux pas corriger tout le texte.

**albanxiii** · 21/12/2019, 19h23

Bonjour,

Une remarque : $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 21/12/2019, 19h24

Bonsoir.

Maintenant, on peut lire tes documents. L'idée est bonne, mais le calcul est faux car les ai ne se factorisent pas (ils sont en puissance, avec le x). Et la dernière ligne est incompréhensible : Qui est i ?
Mais même si c'était juste, la conclusion de ton calcul ne serait que le fait qu'une certaine somme est nulle, pas que tous les $\text{[math]}$ sont nuls.

Cordialement.

**Médiat** · 21/12/2019, 19h25

Bonjour

Envoyé par Ukaneb

ce qui est possible car a dans R...

Non, c'est faux, vous écrivez que $\text{[math]}$ ce qui est incorrect

Ou la 3 réponses en 2mn

**albanxiii** · 21/12/2019, 19h27

Avec 3 messages qui disent la même chose, je crois que Ukaneb ne fera plus cette erreur

**gg0** · 21/12/2019, 19h29

Une indication :
Soit $\text{[math]}$ celui des $\text{[math]}$ qui est le plus petit. Tu peux factoriser par $\text{[math]}$ et tu vas obtenir une somme nulle qui commence par 1 et dont tous les autres termes sont positifs.

Cordialement.

**ansset** · 21/12/2019, 19h33

je viens de voir tes pièces jointes.
Il y a une erreur au départ
$\text{[math]}$
Il te faut trouver une autre piste.

**ansset** · 21/12/2019, 19h35

edit : désolé ; pas vu les posts précédents.

**Ukaneb** · 22/12/2019, 17h57

Merci pour les nombreuses reponses!
Oula effectivement, merci pour le rappel sur les propriétés des exponentiels!!! (reprise d'etudes apres 15 ans sans maths ca demande un rodage

)

Mais donc me revoila au debut:

Si la famille n'est pas libre il existe $\text{[math]}$ distincts et des reels non-nuls $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Comment demontrer que: $\text{[math]}$ est faux...

@gg0, merci pour l'idee mais je ne peux pas factoriser du fait des $\text{[math]}$ ...

Bloqué a nouveau

(Vous remarquerez qu'il y a du progres depuis hier, j'ai compris comment inserer du Latex

)

**gg0** · 22/12/2019, 18h15

Effectivement,

tu as beaucoup oublié sur les exponentielles :

$\text{[math]}$
et comme c=a-(c-a), toutes les exponentielles sont multiples les unes des autres par des exponentielles :
$\text{[math]}$
Donc tu peux factoriser par $\text{[math]}$ .
Mais mon idée coince, effectivement, j'ai négligé le rôle des $\text{[math]}$ . Par contre, ça permet de pratiquer une preuve, par récurrence sur le nombre n de termes de la suite : En supposant que toute combinaison linéaire nulle de n termes $\text{[math]}$ a tous ses coefficients nuls, tu prends une combinaison nulle de n+1 termes, tu factorises la première exponentielle (et tu t'en débarrasses, puisqu'elle est non nulle), tu dérives, et tu obtiens une combinaison linéaire nulle de au plus n termes.
Il y a probablement plus simple, mais je ne vois pas.

Cordialement.

**ansset** · 22/12/2019, 19h10

suggestion :
on classe les an par ordre croissant. a1<a2<...<an ( quitte à changer leur noms )
on suppose $\text{[math]}$ non nul et $\text{[math]}$ n'est jamais nul.
on divise l'équation par $\text{[math]}$
qui devient
$\text{[math]}$
si l'expression est nulle alors sa limite quand x-> l'inf doit être nulle.
Or selon le signe de $\text{[math]}$ , celle ci vaut +/- l'inf.
( à cause du dernier terme et sachant que $\text{[math]}$ est non nul aussi)

donc l'hypothèse initale est fausse.
etc.

**gg0** · 22/12/2019, 20h20

Bien vu !!

La supposition est valide car au moins un des coefficient est non nul et on peut éliminer de la somme les termes à coefficients nuls.

Cordialement.

**Ukaneb** · 22/12/2019, 20h28

Top merci! belle demonstration (que j'arrive meme a comprendre facilement

)
Merci!

Montrer que la famille de fonctions f(x) = exp(x) est libre

Montrer que la famille de fonctions f(x) = exp(x) est libre

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