Une égalité avec la fonction arcos

[ArnoGreg]

Bonjour,

pourriez-vous m'expliquer comment prouver que ?
Sachant que .

D'avance merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Il suffit d'écrire la définition complète de et de voir ce qui se passe pour

[ArnoGreg]

Bonsoir,

qu'entendez-vous par "définition complète" ?

[Médiat]

Bonsoir,

Vous connaissez la définition de arccos ?

Si oui, écrivez la

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArnoGreg]

C'est l'inverse de la fonction .
Cet inverse existe car sur cet intervalle, la fonction cos est strictement décroissante.

[Médiat]

Ok, c'est bien la définition complète, mais essayez de l'écrire sous la forme

arccos(x) = y <=> ....

Puis voyez ce qui se passe pour pi - y

[ArnoGreg]

Je dirais .

Avec , je trouve :

.

D'où .

Qu'en pensez-vous ?

[Médiat]

Je dirais .

Voilà pourquoi je parlais de complète, ceci est faux, donc la démonstration incorrecte (en tout état de cause, votre démonstration démarre très très mal)

[ArnoGreg]

L'écrire complètement comme ceci :
avec avec ?

[Médiat]

C'est mieux, plus pratique :



Partant de là il est facile de voir ce que l'on peut dire de

[Black Jack 2]

Bonjour,

f(x) = arccos(-x) + arccos(x) (pour x dans [-1 ; 1])

On dérive : f'(x) = 1/V(1-x²) - 1/V(1-x²) = 0

Et donc f(x) est une constante, il suffit alors de calculer f(x) pour une valeur quelconque de x dans [-1 ; 1], (on prendra 0 par facilité), pour pouvoir conclure que f(x) = Pi

[fartassette]

Bonjour,

On peut aller encore plus vite, pas besoin d'expliciter les dérivées: en posant h=f+g ; f=f' ;g=-f' (théorème de dérivation des fonctions composées) on répond très rapidement à la question.

Médiat a sans doute voulu diriger le questionneur vers
etc c'est un chemin élégant et pas trop long.


On peut aussi faire le grand écart en revisitant quelques égalité.



En particulier, ici



donc


il vient pour tout réel x compris entre -1 et 1 :


On peut écrire



la fonction est impaire ,,,

d 'ou cqfd

[fartassette]

lire * f a pour dérivée f' et g a pour dérivée -f'

[gg0]

Attention,

il faut connaître la dérivée, car si f a pour dérivée f', la dérivée de g(x)=f(-x) est -f'(-x), qui n'est pas -f à priori. C'est le fait que f' soit paire qui intervient ici.

Cordialement.

[fartassette]

Bonjour ggo

il me semble que n'est ni paire ni impaire.

Cordialement,

[invite51d17075]

la dérivée est paire.

[fartassette]

Je pense qu'on peut très bien utiliser le théorème sur la dérivation des fonctions composée : est dérivable sur et est dérivable sur
alors la composée est dérivable sur et:
(







On remarque une relation entre les deux expressions , ceci me semble évident .

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Si on ne connait pas la dérivée de g(x) = arccos(x), on peut la retrouver facilement.

y(x) = arccos(x) avec x dans [-1 ; 1] et y dans [0 ; Pi]
cos(y) = x
-sin(y).y'(x) = 1
y'(x) = -1/sin(y) et avec y dans [0 ; Pi], sin(y) >= 0 et donc sin(y) = V(1-cos²(y))
y'(x) = -1/V(1-cos²(y))
g'(x) = -1/V(1-x²)

Et avec h(x) = arccos(-x), on arrive à h'(x) = 1/V(1-x²)

[fartassette]

Rebonjour,

y'(x) = -1/V(1-cos²(y))
g'(x) = -1/V(1-x²)

Et avec h(x) = arccos(-x), on arrive à h'(x) = 1/V(1-x²)

Oui car la dérivée de -x =-1 il suffit de multiplié par ce nombre .Le théorème sur la dérivation de fonction composée me l'apprend .

Je ne vois pas l’Intérêt en réalité d'expliciter la dérivée?

[gg0]

C'est bizarre, Fartassette, tu sembles croire que la dérivée de f(-x) est - f'(x), puisque tu dis "Je ne vois pas l’Intérêt en réalité d'expliciter la dérivée? ". Pourtant, c'est seulement parce que cette dérivée est paire (pas évident à priori, sans l'écrire) que ta méthode marche. Autrement dit, ta méthode n'est est pas une, tu as seulement eu de la chance !!

NB : Ton message #17 est illisible, faute des parenthèses nécessaires.

Cordialement.

[fartassette]

Je viens de me relire
j 'ai lue entre les lignes et compris autre chose. Désolée,je suis resté bloqué sur le th de la dérivation.

[gg0]

Pas de problème, ça m'arrive aussi !

Cordialement.

[ArnoGreg]

Merci pour toutes vos interventions.