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Polynômes de Tchebychev



  1. #1
    ArnoGreg

    Polynômes de Tchebychev


    ------

    Bonjour,

    dans un exercice je devais trouver un polynôme vérifiant l'égalité , pour tout et .

    J'y arrive bien avec la formule de Moivre et celle du binôme de Newton.
    Je trouve :

    Je dois maintenant trouver le degré et le coefficient dominant de ce polynôme.
    Je n'y arrive pas.
    Je suppose que le degré est n, mais comment le prouver ?

    Intuitivement, je dirais que le degré du polynôme T est celui de l'expression , lorsque . Sans arriver à m'en persuader.

    Pouvez-vous m'aider ?
    D'avance merci.

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : Polynômes de Tchebychev

    Bonjour.

    Tu peux facilement trouver quel est le degré de et quel est son coefficient dominant, puis faire la somme de ces monômes de même degré maximum pour voir si cette somme est nulle ou pas. Si elle est non nulle, tu as trouvé.

    Bon travail !

    NB : Je pars de ce que tu annonces, je n'ai rien vérifié.

  4. #3
    ArnoGreg

    Re : Polynômes de Tchebychev

    Bonjour,

    je dirais qu'il faut de nouveau utiliser le binôme de Newton :
    .

    Et donc :


    Soit :


    Soit pour j=k, le terme :


    Pour répondre, je dirais donc que le degré de est n et son coefficient dominant est .

  5. #4
    gg0

    Re : Polynômes de Tchebychev

    Tu te compliques la vie !

    Le degré d'un produit de polynômes est la somme de leurs degrés, donc le degré de est . De ce fait, le degré de est .

    Tout ceci se fait de tête, ce qui fait qu'on voit tout de suite qu'on a une somme de polynômes de même degré n. Après, le degré d'une somme est le degré maximum des termes, sauf s'il y a une simplification entre les termes de ce degré, donc ici il faut calculer le terme de plus haut degré de chaque terme (ça se fait aussi de tête) et vérifier si leur somme est nulle ou pas.

    En fait, ton calcul sert à te faire saisir que tu n'avais pas besoin de tout développer, puisque seuls les termes de plus haut degré (les termes dominants) sont en cause.

    Cordialement.

  6. #5
    ansset

    Re : Polynômes de Tchebychev

    heuuu, sans vouloir être faignant ; tout est dans le wiki.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%..._de_Tchebychev
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Polynômes de Tchebychev

    pas de nouvelles ?
    en ai-je trop dit où bien l'exercice constituait à résoudre ce truc "from strach" ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. Publicité
  10. #7
    ansset

    Re : Polynômes de Tchebychev

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    En fait, ton calcul sert à te faire saisir que tu n'avais pas besoin de tout développer, puisque seuls les termes de plus haut degré (les termes dominants) sont en cause.
    là je ne comprend pas ce que tu veux dire.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    gg0

    Re : Polynômes de Tchebychev

    Le calcul utile se réduit aux termes dominants de chacun des éléments de la somme (pas besoin de développer les puissances de (1-X²) ), mais le fait d'avoir développé permet de bien voir ce qui était inutile.

    Cordialement.

  12. #9
    ansset

    Re : Polynômes de Tchebychev

    OK, compris !
    Cdt.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    ansset

    Re : Polynômes de Tchebychev

    pour être plus précis, je n'avais pas saisi que dès le début la question qui semblait faire blocage était :
    Je dois maintenant trouver le degré et le coefficient dominant de ce polynôme.
    ce qui est effectivement assez direct.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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