Polynômes de Tchebychev

**ArnoGreg** · 11/01/2020, 12h42

Bonjour,

dans un exercice je devais trouver un polynôme $\text{[math]}$ vérifiant l'égalité $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

J'y arrive bien avec la formule de Moivre et celle du binôme de Newton.
Je trouve :

$\text{[math]}$

Je dois maintenant trouver le degré et le coefficient dominant de ce polynôme.
Je n'y arrive pas.
Je suppose que le degré est n, mais comment le prouver ?

Intuitivement, je dirais que le degré du polynôme T est celui de l'expression $\text{[math]}$ , lorsque $\text{[math]}$ . Sans arriver à m'en persuader.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

**gg0** · 11/01/2020, 13h40

Bonjour.

Tu peux facilement trouver quel est le degré de $\text{[math]}$ et quel est son coefficient dominant, puis faire la somme de ces monômes de même degré maximum pour voir si cette somme est nulle ou pas. Si elle est non nulle, tu as trouvé.

Bon travail !

NB : Je pars de ce que tu annonces, je n'ai rien vérifié.

**ArnoGreg** · 12/01/2020, 14h29

Bonjour,

je dirais qu'il faut de nouveau utiliser le binôme de Newton :
$\text{[math]}$ .

Et donc :
$\text{[math]}$

Soit :
$\text{[math]}$

Soit pour j=k, le terme :
$\text{[math]}$

Pour répondre, je dirais donc que le degré de $\text{[math]}$ est n et son coefficient dominant est $\text{[math]}$ .

**gg0** · 12/01/2020, 15h56

Tu te compliques la vie !

Le degré d'un produit de polynômes est la somme de leurs degrés, donc le degré de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ . De ce fait, le degré de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

Tout ceci se fait de tête, ce qui fait qu'on voit tout de suite qu'on a une somme de polynômes de même degré n. Après, le degré d'une somme est le degré maximum des termes, sauf s'il y a une simplification entre les termes de ce degré, donc ici il faut calculer le terme de plus haut degré de chaque terme (ça se fait aussi de tête) et vérifier si leur somme est nulle ou pas.

En fait, ton calcul sert à te faire saisir que tu n'avais pas besoin de tout développer, puisque seuls les termes de plus haut degré (les termes dominants) sont en cause.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51d17075 · 12/01/2020, 20h05

heuuu, sans vouloir être faignant ; tout est dans le wiki.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%..._de_Tchebychev
Cdt

invite51d17075 · 13/01/2020, 19h05

pas de nouvelles ?
en ai-je trop dit où bien l'exercice constituait à résoudre ce truc "from strach" ?

invite51d17075 · 13/01/2020, 19h25

Envoyé par gg0

En fait, ton calcul sert à te faire saisir que tu n'avais pas besoin de tout développer, puisque seuls les termes de plus haut degré (les termes dominants) sont en cause.

là je ne comprend pas ce que tu veux dire.

**gg0** · 13/01/2020, 19h50

Le calcul utile se réduit aux termes dominants de chacun des éléments de la somme (pas besoin de développer les puissances de (1-X²) ), mais le fait d'avoir développé permet de bien voir ce qui était inutile.

Cordialement.

invite51d17075 · 14/01/2020, 10h53

OK, compris !
Cdt.

invite51d17075 · 14/01/2020, 11h12

pour être plus précis, je n'avais pas saisi que dès le début la question qui semblait faire blocage était :

Je dois maintenant trouver le degré et le coefficient dominant de ce polynôme.

ce qui est effectivement assez direct.

Polynômes de Tchebychev