Série semi convergentes

[jall2]

Bonjour,

Soit (Sn) une série réelle semi-convergente. Par définition diverge.
(Sn) converge.

Soit (Pn) la série avec uniquement les termes positifs de (Sn)
Soit (Nn) la série avec uniquement les termes négatifs de (Sn)

Comment montrer que nécessairement (Pn) diverge vers +oo et que (Nn) diverge vers -oo ?
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[Médiat]

Bonjour,

Par l'absurde c'est immédiat (3 cas à étudier)

(Une série à terme positifs, soit elle est bornée, soit elle ne l'est pas)

[jall2]

D'abord Pn est soit convergente, soit divergente vers +oo, car la suite des sommes partielles est croissante car tous les termes sont positifs
De même Nn est soit convergente, soit divergente vers -oo, car la suite des sommes partielles est décroissante car tous les termes sont négatifs

Si les 2 étaient convergentes, alors |Sn| serait aussi convergente. Contradiction
Si l'une des 2 était convergente et l'autre divergente alors Sn serait divergente. Contradiction

Donc les 2 sont divergentes

Correct ?

[Médiat]

Oui, c'est bien cela

[A voir en vidéo sur Futura]