Matrice d'une application linéaire dans une base canonique

[XxDestroyxX]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice dont je ne suis pas sûr des étapes à utiliser pour le résoudre...
Je n'ai pas de correction donc c'est difficile de savoir si le résultat est bon...
Voici l'exercice en question :
Soit la base canonique de .
Soit (où est le polynôme dérivé de ).

1) Écrire la matrice de dans .
2) Montrez que est diagonalisable. (nb : j'imagine qu'ils parlent de la matrice de précédemment demandée)

Voici mon raisonnement pour la première question sans avoir lu la deuxième :

1) Soit et .

On en déduit que la matrice de est .

J'ai ensuite lu la deuxième question qui me montrait que mon résultat était complètement faux car la matrice devait être carrée...
J'ai réfléchit à comment je pourrais trouver une matrice carrée connaissant les données qui me sont présentées et la seule chose qui m'est venue en tête, c'est de séparer les cas de , et dans la matrice que j'ai trouvée précédemment, ce qui m'a donné la matrice . En revanche, je ne sais pas si elle est correcte... Je sais qu'elle pourrait l'être sachant qu'elle est diagonalisable, mais je n'ai pas de moyens d'en être sûr. En tous cas, je sais que je n'ai pas utilisé une bonne méthode pour la trouver (je travaille en autonomie, je n'ai pas eu de cours sur ce sujet donc je ne connais pas vraiment de méthode)...

Pourriez-vous s'il vous plaît m'éclairer sur cet exercice ?

Bonne journée à vous
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[Amanuensis]

J'ai ensuite lu la deuxième question qui me montrait que mon résultat était complètement faux car la matrice devait être carrée...

Eh oui.

J'ai réfléchit à comment je pourrais trouver une matrice carrée connaissant les données qui me sont présentées et la seule chose qui m'est venue en tête, c'est de séparer les cas de , et dans la matrice que j'ai trouvée précédemment

C'est un peu ça. Mieux dit la matrice recherchée est celle des coefficients des images des vecteurs de base, soit φ(1), φ(X) et φ(X²), dans la même base. C'est l'application de la définition de la matrice d'une application linéaire.

(...)En revanche, je ne sais pas si elle est correcte...

Elle l'est.

En tous cas, je sais que je n'ai pas utilisé une bonne méthode pour la trouver (je travaille en autonomie, je n'ai pas eu de cours sur ce sujet donc je ne connais pas vraiment de méthode)...

Plus simple à construire avec la définition donnée ci-dessus.

[XxDestroyxX]

Merci beaucoup Amanuensis ! Je me demande par quel miracle je suis tombé sur le bon résultat !
Merci pour la définition ! Il fallait donc juste appliquer l'application linéaire aux "coefficients" de la base si j'ai bien compris ? C'était assez simple finalement ^^

[raymolk]

Il y a une petite erreur quand même : la matrice que tu trouves est la transposée de la matrice recherchée.
Les colonnes de la matrice doivent être les images par l'application des vecteurs de base, exprimées dans cette même base.

[A voir en vidéo sur Futura]