Equation du 1er ordre non linéaire

[invitec5520b5b]

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre le modèle suivant, où Y est une fonction du temps t

Y'+Y²+2y=0 ;Y(0)=1

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre. Une âme charitable pour m'aiguiller et m'expliquer ?

Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

Cette équation fait partie des équations différentielles "à variables séparables". On peut l'écrire
y' = -(y^2+2y)
\frac{y'}{y^2+2y} = -1
En intégrant chacun des deux membres en fonction de x, on obtient une égalité de la forme f(y) = -x+Cte. Ne reste plus qu'à calculer y en fonction de x.

Bon travail !

[invitec5520b5b]

Grâce à vous je viens de découvrir les équations différentielles à variables séparés. J'ai tout compris jusque là mais je pêche au niveau de l'intégration du membre de gauche.

Comment intègre-t-on (y')/(y^2+2y) ?

Merci

[gg0]

Tu as une dérivée évidente avec
Trouver f est classique (intégration des fractions rationnelles) : On décompose en éléments simples dont les primitives sont des log.

Cordialement.

NB : J'avais oublié de passer en code LaTeX, dans le message #2, il fallait lire :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Comment intègre-t-on (y')/(y^2+2y) ?

Si tu ne l'avais pas clairement saisi , comme on intègre "à variable séparée",
Dans le membre de gauche on intègre par rapport à y(x) directement.
On cherche donc une fonction f(y) primitive de 1/(y²+2y), car on considère ici y comme une variable ( "séparée" .... )

Du fait je trouve que l'expression précédente de gg0 :

En intégrant chacun des deux membres en fonction de x, on obtient une égalité de la forme f(y) = -x+Cte. Ne reste plus qu'à calculer y en fonction de x.

peut prêter à confusion.

[invite51d17075]

ce que je voulais dire c'est que ce type d'équation s'écrit par définition. ( une écriture possible )

soit

Si on laisse de coté les solutions ou g s'annule en un point. ( d'ailleurs si on ne cherche que les fonctions y régulières continues , dans ces cas la fonction y est constante partout(*) ).
l'équation peut donc s'écrire
ou bien
avec

on intègre ensuite à gauche en y et à droite en x.

(*) dans ton cas, ce sont les solutions y(x)=0 et y(x)=-2

ps : j'ai changé les noms des fonctions pour être plus général

[gg0]

Désolé, ansset,

mais ma présentation est parfaitement adaptée à la question, même si tu as l'habitude de faire autrement. D'ailleurs ta fonction h est tout simplement ma fonction f'.
D'ailleurs, ce que tu écris a-t-il un sens : "on intègre ensuite à gauche en y et à droite en x." ? Si on ne fait pas la même chose aux deux membres de l'égalité, il n'y a aucune raison de conserver le signe =. Dirais-tu "on multiplie ensuite à gauche par 2 et à droite par 3" ? En fait, c'est parce que y est une fonction de x qu'on se permet de pratiquer ainsi : On cache un y'(x) dx dans le dy.

Très cordialement.

NB : je n'ai pas traité la question du domaine de validité des solutions, comme y(0)=1, il existe un voisinage de 0 où y²+2y n'est pas nul.

[invite51d17075]

question de formulation.
tu écris bien

Tu as une dérivée évidente avec
Trouver f est classique (intégration des fractions rationnelles) : On décompose en éléments simples dont les primitives sont des log.

Tu intègres bien la fonction f' !
mathématiquement, on intègre évidemment en x des deux cotés, mais cela revient dans la pratique à n'intégrer que la fonction f'(y) pour avoir une expression en fct de y.

[Black Jack 2]

Bonjour,

y' + y² + 2y = 0

dy/dx = - (y²+2y)
Si (y²+2y) est différent de 0, alors dy/(y²+2y) = - dx



...

[gg0]

C'est ce que disait Ansset ..;

[jacknicklaus]

Comment intègre-t-on (y')/(y^2+2y) ?

Merci

ce qui revient à trouver une primitive de

il suffit de décomposer en éléments simples (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...9ments_simples) , soit ici de trouver un a et un b tels que

trouver a et b revient à mettre l'expression au même dénominateur et à exprimer que les dénominateurs doivent être égaux pour tout y, ce qui détermine a et b. L'intégration en Ln est alors évidente.

[Black Jack 2]

"C'est ce que disait Ansset ..;"

Oui, mais avec différentes manières de dire la même chose, il y en a peut-être une qui sera plus évidente pour timothfunky.

[jall2]

Bonjour

Si certains s'étonnent que l'on intègre par rapport à une "variable" y alors que y est une fonction:



c'est juste un jeu d'écriture, de la cuisine ...

on a bien

C'est de la forme f'(gof) que l'on sait être égal à (Gof)' où G est une primitive de g

[gg0]

Effectivement.

Voir le message #4.

Cordialement.

[Black Jack 2]

Bo,jour,

L'analyse non standard a validé et défini depuis belle lurette la notion d'infiniment petits.

Et le fait que dy/dx pouvait être considéré comme le rapport de 2 infiniment petits et pas obligatoirement comme la dérivée de y par rapport à x.

Cette méthode, jadis utilisée par les seuls physiciens a été coulée dans le bronze d'une théorie mathématique rigoureuse dans la théorie de l'ANS vers l'année 1960.

[gg0]

Oui, et alors ?

Car ça ne justifie pas de rajouter un symbole intégrale de chaque côté. C'est de la cuisine (qui marche). A moins que tu sois capable de justifier (par l'analyse non standard) qu'à partir de on obtient .

Cordialement.

NB : Moi, j'ai justifié, en analyse classique, ci-dessus.

[Black Jack 2]

D'autres l'ont fait par l'ANS.

Moi je me contente d'appliquer ce que d'autres plus calés que moi ont fait et qui permet d'alléger les calculs et manipulations.

[gg0]

Tu as une référence ?

J'ai pas mal lu sur l'ANS, et vu de nombreuses démonstrations, jamais celle-là.

Cordialement.

[Biname]

Salut les matheux,

Premier message ici.

Un peu nul en équations différentielles, Wolfram m'aide beaucoup.
Une heure de bataille avec Wolfram me donne ceci :

https://www.wolframalpha.com/input/?...n+Y%280%29%3D1

J'émets l'hypothèse que Y majuscule égale y minuscule et que donc l'équation est : Y'+Y²+2Y=0 condition initiale Y(0)=1

Résultats Wolfram : Y(x) = 2/(-1 + 3 e^(2 x))
il faut, je présume, remplacer x par t le temps : Y(t) = 2/(-1 + 3 e^(2 t))

Si Y est différent de y, Wolfram y voit l'équation de Riccati et c'est beaucoup beaucoup plus lourd

Feu

Biname

[Biname]

Salut les matheux,

Premier message ici.

J'émets l'hypothèse que Y majuscule égale y minuscule et que donc l'équation est : Y'+Y²+2Y=0 condition initiale Y(0)=1

Résultats Wolfram : Y(x) = 2/(-1 + 3 e^(2 x))
il faut, je présume, remplacer x par t le temps : Y(t) = 2/(-1 + 3 e^(2 t))

Vérification avec Wolfram :
https://www.wolframalpha.com/input/?...82+x%29%29+%29

0=0

I am troo foor

Biname

[jacknicklaus]

Salut les matheux,

Premier message ici.

Un peu nul en équations différentielles, Wolfram m'aide beaucoup.

Salut biname.

crois tu que le sujet soit de faire trouver cette primitive élémentaire par un logiciel ? le sujet est plutôt d'aider timothfunky à comprendre comment on fait. Wolfram ne lui sera d'aucun secours lors de ses examens..

[Biname]

Salut,

Ca se discute ! On oublie tellement vite, sans Wolfram, je ne serais pas là. Grace à ces logiciels de math, un vieux peut se relancer.
Pour un étudiant ?

J'ai fait l'exercice 'à la main', sauf pour l'intégrale de 1/(y²+2y) qui m'aurait pris des heures de révisions. Le pb est la constante et là, je savais encore, comme pour ln/e^x et ..., il reste l'essentiel , Wolfram permet de zapper les détails ... et de vérifier.

Merci !

Biname

[Black Jack 2]

Bonjour,

J'ai fait l'exercice 'à la main', sauf pour l'intégrale de 1/(y²+2y) qui m'aurait pris des heures de révisions ...

1/(y²+2y) = 1/(y.(y+2))

= 1/2 * 1/y - 1/2 * 1/(y+2)

et c'est alors immédiat...

[Biname]

Salut,

1/(y²+2y) = 1/(y.(y+2))
= 1/2 * 1/y - 1/2 * 1/(y+2)
et c'est alors immédiat...

Oui, merci. Après c'est toujours évident.
J'aurais pu/dû trouver à partir de la solution mais pour ça, il eut fallu que la formule de l'intégrale de 1/x soit encore assez haut dans la pile . Même pas essayé, c'est grave docteur ?

Biname

[invite51d17075]

J'aurais pu/dû trouver à partir de la solution mais pour ça, il eut fallu que la formule de l'intégrale de 1/x soit encore assez haut dans la pile . Même pas essayé, c'est grave docteur ?

Oui, c'est grave de ne pas connaitre la primitive usuelle de 1/x !