Lien entre une suite bornée et un ensemble non ouvert

[inviteb909fe25]

Bonjour, depuis quelques jours, je reviens sur cet exercice de topologie dont le cadre est présenté en image :



-> On souhaite montrer que si la suite (v_n) est bornée, alors S n'est pas ouvert.

Or, pour montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert, j'ai pu lire que :

1. Soit on effectue la caractérisation séquentielle où il existe une suite (Yn) appartenant au complémentaire de S, convergeant vers y où y appartient à ce complémentaire

2. Soit on cherche x appartenant à S et (X_n) ----> x tel que pour tout n naturel, Xn n'appartient pas à S.

Mon problème est justement de visualiser le raisonnement global :
Comme v_n > |s_n| et que S = (s_n), puis-je dire que v_n n'appartient pas à S ?
De plus, si (v_n) est bornée, puis-je prouver qu'il est possible qu'elle soit convergente en un point appartenant à S ?

Ces deux premiers points suffiraient à montrer que U n'est pas ouvert, n'est-ce-pas ?

Je vous remercie pour votre lecture.
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[invite9dc7b526]

j'ai l'impression que tu as perdu de vue le fait que S est un ensemble de suites.

[inviteb909fe25]

Erratum : pour montrer que S n'est pas ouvert (et non U).

Merci pour votre réponse @minushabens

OK soit S l'ensemble des suites convergentes en Vn avec Vn borné.

Je dois manquer de ressources, mais je ne vois pas en quoi cela suffit pour montrer que S n'est pas un ouvert

[gg0]

Bonjour.

Ton énoncé est loin d'être clair. Par exemple da définition de S réfère à une suite v_n inconnue. Puis, dans un deuxième temps, on parle d'une suite s_n définie en fonction de x et de v_n (est-ce le même ?); elle serait bien mieux notée s(x), d'ailleurs. La notation s_n était générale dans la définition de S, elle devient particulière dans la suite; mais pour certaines valeurs de x, ce nouveau s_n n'est pas dans S. Enfin, tu ne précises pas la topologie utilisée : Sans doute une des topologies naturelles sur , mais laquelle ?

Un énoncé précis et clair serait utile ici.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Je pense que quand on parle de "l-infini" on sous-entend que la topologie est celle de la norme sup ||un,vn||=sup(|un-vn|)

[raymolk]

Il y a une erreur dans ta caractérisation en 1. :
« Soit on effectue la caractérisation séquentielle où il existe une suite (Yn) appartenant au complémentaire de S, convergeant vers y où y appartient à ce complémentaire »
C'est : « où y n'appartient pas à ce complémentaire », car il faut que le complémentaire ne soit pas fermé (pour que l'ensemble de départ ne soit pas ouvert).

Dès lors, les caractérisations 1. et 2. n'en sont qu'une : il s'agit de trouver un élément s de S, et une suite d'éléments du complémentaire de S, qui converge vers s pour la norme du sup.
Je ne sais pas si c'est vrai en général, ça ne me semble pas évident, mais si (v_n)_n, en plus d'être bornée, est croissante, et donc convergente vers sa norme infinie, alors la suite (s_n)_n dont tu parles dans ton image est un bon candidat.
Elle est bien dans S, et il est possible de construire une suite d'éléments du complémentaire de S (les suites (u_n)_n bornées pour lesquelles il existe un n tel que u_n ≥ v_n) qui converge vers s pour la norme du sup : il faut rajouter à s_n un terme en k qui tend vers 0, et qui permet d'être supérieur à v_n à partir d'un certain n pour tout k fixé.

L'idée, c'est que la norme du sup autorise d'avoir s_n < v_n pour tout n, et pourtant |s|_oo = |v|_oo, car les inégalités strictes ne passent pas à la limite.
Mais pour pouvoir construire un exemple comme ci-dessus, j'ai l'impression qu'il faut plus d'hypothèses sur (v_n)_n que d'être simplement bornée.

[raymolk]

À la réflexion, je ne vois pas trop pourquoi je me suis focalisé sur la croissance de (v_n)_n ci-dessus : ça n'est pas requis, et la suite d'éléments du complémentaire de S à laquelle je pense converge vers s indépendamment des variations de (v_n)_n.
J'imagine que c'est parce que je me suis focalisé sur |s|_oo = |v|_oo, qui n'est pas requis non plus, ou peut-être parce que le fait de ne pas connaitre la norme de s et de v me dérangeait… (ou peut-être parce qu'il fallait que j'aille faire les courses et que je voulais rédiger mon post avant de partir )

[inviteb909fe25]

Bonsoir, et merci à tous.

Il s'avère que la question exacte est de "montrer que si la suite (Vn) est bornée, alors S n'est pas ouvert".

De plus, il est indiqué que :
*s=(Sn)n définie par Sn=Vn(1-(n+1)^{-1})
(Vn)n est une suite de réels positifs avec Vn>=0 pour tout n.

Précédemment, j'ai pu montrer par double inclusion que si la lim(en +inf) de Vn = +inf, alors S est un ouvert de l^{inf}(N)
(avec N l'ensemble des naturels).


Ce que je pensais poser pour cette question :

Si (Vn) est bornée -> (Vn) appartient à l^inf donc S=(Vn-(Vn/n+1))n appartient à l^inf et s appartient à S.

Ainsi, il semblait judicieux de montrer que S était une valeur d'adhérence : pour tout r>0 si s' appartient à B(s, r) alors sup|sn'-sn|<r (n appartenant aux naturels).
mais il existe n_0 naturel tel que pour n>=n_0 on a 1/(n+1) < r/2
donc, si on prend s' tel que * s_n_0 = Vn * - * Vn/(n_0 +1 ) * + *(r/2) *> *Vn
alors s' appartient à l^inf \ S donc pour tout r > 0, l'intersection de B(s, r) et de l^inf \ S est non vide : ce qui implique que S n'est pas ouvert.

Qu'en pensez-vous ?

[raymolk]

Fais un effort de rédaction sur la forme : soit tu rédiges en latex, soit tu utilises les outils de mise en forme du message (mise en indice et exposant), comme sous word, ou open office, libreoffice, etc.
Car là, ce que tu écris est pénible à lire.

Cela dit, l'idée est la bonne, mais tu aurais pu passer par les suites comme tu le proposais dans tes caractérisations au départ, et comme je le reprenais ci-dessus : de toutes façons, au final, c'est la même construction.
Là il me semble que tu fais une erreur dans la formulation de s_n', mais encore une fois, comme c'est mal écrit, je ne m'avance pas plus.
Tu devrais aussi laisser le facteur multiplicatif de v_n entre parenthèses, comme dans ton image de départ : c'est plus lisible et plus logique, car l'idée est qu'il soit supérieur à 1 au delà de n₀, pour que s' soit dans le complémentaire de S.