Décomposition en éléments simples

[invitee863bb34]

Bonjour à tous,

Dans le cade d'un exercice, je dois calculer la primitive de la fonction suivante :

f(x) = (x² -1)/(x²(x²+1))

Après décomposition en éléments simples, je me retrouve avec une expression de f(x) :

f(x) = (-1)/(x²) + (2)/(x² + 1)

Donc je trouve comme primitive de f(x) : (1)/(x) + 2ln(x² + 1) + C, mais le corrigé m'indique que la primitive correspond à : (1)/(x) + 2arctan(x) + C.
Je me demande donc comment la primitive de (2)/(x² + 1) est 2arctan(x) ?

Mon développement :




Je vous remercie d'avance pour votre aide !
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[PlaneteF]

Bonjour,

Attention, contrairement à ce que tu laisses sous-entendre dans ton calcul, n'est pas de la forme

Cordialement

[invite51d17075]

Donc je trouve comme primitive de f(x) : (1)/(x) + 2ln(x² + 1) + C, mais le corrigé m'indique que la primitive correspond à : (1)/(x) + 2arctan(x) + C.
Je me demande donc comment la primitive de (2)/(x² + 1) est 2arctan(x) ?

parce que c'est ainsi !
pour s'en convaincre , soit :
x=tan(arctan(x))
en dérivant
1=arctan'(x)tan'(arctan(x))
Hors, tan'(x)=1+tan²(x), donc ici
1=arctan'(x)(1+tan²(arctan(x)) =arctan'(x)(1+x²) d'où
arctan'(x)=1/(1+x²)

de toute façon, la dérivée de ln(x²+1) vaut 2x/(x²+1).

[PlaneteF]

Message supprimé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee863bb34]

D'accord je comprends mieux, merci pour votre réponse !