exercices sur les primitives

[chloe4559]

Bonjour à tous,

je viens de voir en distanciel le chapitre sur les primitives en analyse. J'ai encore quelques soucis pour trouver les primitives, malgré les nombreux exemples que nous avons eu.

Je vous met en pièce jointe la primitive que je dois trouver.

Alors, j'ai d'abord penser que j'avais quelque chose de la forme g'(x)/g(x), dont on connait facilement la primitive car nous avons un tableau à connaitre par coeur.

Sauf que la ca ne fonctionne pas car au numérateur, nous avons 2e^x et non 2e^2x.

Je ne sais pas si je fais fausse route ou si je suis sur la bonne voix....

Pourriez vous m'aider un peu svp ?
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[gg0]

Bonjour.

Sans pièce jointe, difficile de t'aider. Mais tu peux aussi écrire la fonction dont tu dois trouver une primitive.

Cordialement.

[chloe4559]

Ah mince j'ai pas du réussir à calculer la pièce-jointe.

on cherche la primitive de 2e^x/(e^(2x)+1)

[gg0]

Ce n'est pas une primitive élémentaire. Si tu as appris à utiliser l'intégration par changement de variable, c'est assez immédiat (poser u=exp(x)), sinon il ne reste qu'à inventer une primitive ("une" plutôt que "la" puisqu'il y a une infinité de primitives). Comme exp(2x) est le carré de exp(x), on peut penser à une primitive de 1/(x²+1) puis adapter.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

D'accord merci beaucoup, je vais essayer avec ces informations !

[chloe4559]

Bonjour, j'ai à nouveau besoin de vos conseils pour le calcul d'une primitive.

En effet, je dois trouver la primitive de sin(2x)/(cos^2(x)-cos(x)+1)

Premièrement, j'ai utilisé les relations trigonométriques afin de simplifier l'expression, ce qui donne 2cos^2(x)-1/(cos^2(x)-cos(x)+1)
Ensuite, j'ai posé t=cos(x) pour avoir 2t^2-1/t^2-t+1

Je fais une division euclidienne pour trouver la partie entière de cette fraction et j'obtiens 2 + (2t-3)/(t^2-t+1)

Ensuite, je force l'apparition de la dérivée du dénominateur au numérateur et j'obtiens 2 + ((2t-1)-2)/(t^2-t+1)
Je sépare ensuite la fraction en somme de deux fractions, comme ca je peux obtenir une forme connue de primitive qui est celle de u'/u

Ca me donne 2 + 2t-1/(t^2-t+1) -2/(t^2-t+1)

Ainsi, j'ai tout fait jusqu'au bout et j'ai trouvé ln((t^2-t+1)+2x-[4arctan(2t-1/sqrt(3))]/sqrt(3)

Le truc c'est que je viens de me rendre compte que j'ai complétement fait absraction de la valeur que prends dx après le changement de variable. Donc il faut que je recommence tout.

Avec le changement t=cos(x) alors x=arcos(t) et dx=1/sqrt(1-t^2) et là je crois que mon changement de variable est plus compliqué et que ce n'est peut-être pas la bonne méthode.
J'ai aussi essayé avec les règles de Bioche, mais à moins que j'ai fait une erreur, j'ai pas trouvé de changement de variable convenable parmi les trois.

Pouvez vous m'éclairer un peu svp

[gg0]

Bonjour.

je ne vois pas trop comment tu as pu arriver à 2cos^2(x)-1/(cos^2(x)-cos(x)+1) ni même à (2cos^2(x)-1)/(cos^2(x)-cos(x)+1); 2cos²(x)-1 vaut cos(2x).
Alors que si tu utilises la bonne formule de sin(2x), tu auras un sin(x) à placer avec le dx pour le changement de variable (*) et plus que des cos(x) pour te ramener à une intégrale de fraction rationnelle.

Bon travail !

(*) "Avec le changement t=cos(x) alors x=arcos(t) et dx=1/sqrt(1-t^2)" trop compliqué, alors que dt = -sin(x) dx est très simple.

[chloe4559]

J'ai trouvé sur internet que sin(2x)=2(cos(x))^2-1 mais en fait en regardant à nouveau cette formule était pour cos(2x)

Je viens de regarder sur un autre site qui me dit que sin(2x)=2cos(x)sin(x) celle ci est bonne ?

Alors j'obtiens 2cos(x)sin(x)/((cos(x))^2-cos(x)+1)*dx

Mais la je ne vois pas le changement de variable à faire. Est ce que c'est toujours t=cos(x) alors dt=(cos(x))'dx=-sin(x)dx ?

Dans ce cas j'ai -2t/t^2-t+1*dt?

[gg0]

Ben ... tu as appliqué la formule (*), donc c'est bon.

Cordialement.

(*) attention à bien connaître la formule. Méfie-toi de ce que tu lis sur Internet.

[invite51d17075]

Je viens de regarder sur un autre site qui me dit que sin(2x)=2cos(x)sin(x) celle ci est bonne ?

oui, mais quand même surpris que tu poses la question.
ces formules font parti du b-a-ba en trigo.

Dans ce cas j'ai -2t/(t^2-t+1)*dt?

OK, et pour la suite ?

[chloe4559]

Bah je n'ai jamais vraiment vu cette formule, j'ai plutôt vu cos(-x) par exemple ou cos/sin(pi-x)

Alors du coup comme avant je dois forcer l'apparition de la dérivée du dénominateur dans le numérateur.

on obtient (2t-1)+1/t^2-t+1

on utilise les propriétés des fractions qui nous permettent de dire que (2t-1)+1/t^2-t+1=2t-1/t^2-t+1 + 1/t^2-t+1

La primitive du premier terme est de type u'/u donc la primitive de 2t-1/t^2-t+1=ln (t^2-t+1) =ln((cos(x)^2-cos(x)+1) avec des valeurs absolues

et la primitive de 1/t^2-t+1 est 2/sqrt(3)*arctan(2cos(x)-1/sqrt(3))

Finalement la primitive de sin(2x)/(cos^2(x)-cos(x)+1) est ln((cos(x)^2-cos(x)+1)+2/sqrt(3)*arctan(2cos(x)-1/sqrt(3)) + constante

[gg0]

Une autre façon de voir :
2cos(x)sin(x)/((cos(x))^2-cos(x)+1) = -sin(x) f(cos(x)) avec fu) = -2u/(u²-u+1), et on reconnaît une forme dérivée g'(x)F(g(x)) où F est une primitive de f.

[invite51d17075]

Finalement la primitive de sin(2x)/(cos^2(x)-cos(x)+1) est ln((cos(x)^2-cos(x)+1)+2/sqrt(3)*arctan((2cos(x)-1)/sqrt(3)) + constante

juste au signe près (et avec les ptites parenthèses ) , car au départ on a -2t/(..)

[chloe4559]

Ah oui j'ai en effet oublié ce petit signe

Mais pourquoi quand je vais sur le site que mon prof m'a donné pour vérifier si mon résultat est bon je trouve pas la même chose.

[chloe4559]

ca trouve 2/sqrt(3)*arctan(sqrt(3)/(2cos(x)-1))-ln(-2cos(x)+cos(2x)+3) + C

[invite51d17075]

ca trouve 2/sqrt(3)*arctan(sqrt(3)/(2cos(x)-1))-ln(-2cos(x)+cos(2x)+3) + C

On revient à une même primitive ( à une constante près )
Pour le log:
cos(2x)=2cos²(x)-1 donc la solution du site devient
-ln(-2cos(x)+2cos²(x)-1+3)=-ln(-2cos(x)+2cos²(x)+2)=-ln(2)-ln(cos²(x)-cos(x)+1)
Pour l'arctan :
On sait que arctan(x)+arctan(1/x)=+/- pi/2 selon le signe de x .
on retombe aussi sur la même formule ( tj à une cte près )

Je ne sais quelle méthode d'intégration a été prise pour le corrigé.
ps : le site est-il wolfram alpha ?

[chloe4559]

D'accord merci,

oui le site c'est bien celui-ci

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !