Bonjour à tous,
J'ai une application qui donne l'exponentielle d'une matrice A. On a la matrice A qui appartient à l'espace des Matrices de dimension 2 (M20(R)) et qui a une trace nulle. Le sous ensemble des matrices ayant le déterminant 1 se désigne par SL2(R). Aisni l'exponentielle envoie: M20(R) dans SL2(R). L'objectif de l'exercice est de coprendre que cette application est non surjective.

On a d'abord étudié une matrice G qui appartient à SL2(R). On a montré que son polynome caractérisique était : Pg(X)=X²-tr(G)X+1
j'ai trouvé que les valeurs propres de G étaient réelles si Tr(G) supérieur ou égal à 2 et complexes sinon. J'ai trouvé les valeurs propres dans les deux cas.

On a ensuité étudié une matrice A qui appartient à M20(R). J'ai montré que le polynome caractéristique était Pa(X)=X²+det(A)
Les valeurs proprees sont réelles si le déterminant de (A) est inférieur ou égal à 0 et complexes sinon.

On obtient donc tr(exp(A) supérieur ou égal à 2 si det(A) inférieur ou égal à 0 et tr(exp(A)) inférieur ou égal à 2 si det(A) supérieur ou égal à 0.

Avec ce résultat, je dois donner une condition sur la trace d'une matrice G appartenant à SL2(R) pour que G n'appartienne pas à l'image de l'application M02(R) dans SL2(R). Je dois aussi donner un exemple d'une matrice et en conclure que cette application n'est pas surjective. Je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide
Bonne journée