Matrice non inversible

[Yopppp]

Bonjour,

Je cherche des éléments pour montrer simplement la propriété suivante : si une matrice carré M n'est pas inversible, alors MN (avec N matrice carré) n'est pas inversible ?

Merci d'avance
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

On peut (par exemple) le montrer au moyen de deux propriétés du déterminant: une matrice non-inversible possède un déterminant nul et le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des matrices. De-là, il suffit de conclure.

[Yopppp]

Merci pour votre réponse, justement c'est pour montrer cette deuxième propriété que j'ai fait cette demande, si vous aviez une autre idée, cela m'arrangerait...

[henryallen]

Bonsoir,

Un raisonnement par l’absurde/par contraposition convient. Si MN est inversible, alors ... donc M est inversible. Il reste à compléter le trou.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yopppp]

Ah effectivement je crois avoir trouver, dites moi si je me trompe :

Si MN est inversible, alors elle est équivalente par colonne a In (sur ce point j'ai un doute, je sais que par ligne cela marche mais pas colonne ?)
Donc il existe P0....Pn matrices d'opérations élémentaires (inversibles) telles que MN=In*P0...Pn.
On multiplie chaque matrice Pi par son inverse Ai a droite, donc MN*An....A0=In.
On a donc N*An...A0 qui est la matrice inverse de M, M est donc inversible.

J'ai juste un doute comme j'ai écris sur l'équivalence par colonne a In.

[minushabens]

c'est une propriété vraie dans tout anneau, tu peux essayer de la montrer dans ce cadre et elle sera vraie ipso facto pour les anneaux de matrices.

[Yopppp]

Quand vous dîtes "c'est une propriété vraie" vous parlez de : si une matrice est inversibles alors elle est équivalente par colonne a In" c'est ça ?

[Médiat]

Bonjour,

Non, tous les anneaux ne sont pas des anneaux de matrices : si MN est inversible, il existe P tel que (MN)P = I (dans ce que je viens d'écrire M, N et P n'ont pas à être des matrices, mais pour conclure, vous allez avoir besoin de propriétés particulières)

[Yopppp]

En fait je ne sais pas ce que c'est qu'un anneau...
Mais on pourrait dire, si MN est inversible alors il existe P telle que (MN)P=In, soit M(NP)=In donc M inversible ?
Mais le problème c'est qu'il faudrait la commutativité de M et N (ou de N et P) pour pouvoir dire également que N est inversible...

[Médiat]

Pas grave,

mais N n'a pas d'importance ici, ceci dit vous n'avez démontrer que l'existence d'un inverse à droite

[Yopppp]

Si M a un inverse a droite alors a gauche aussi non ? On a toujours dit ça en cours en tout cas.

Et je pense que il faut quand même montrer que N a un inverse aussi, car la propriété que l'on veut démontrer est : si M ou N n'est pas inversible alors MN n'est pas inversible, la contraposée est donc, Si MN est inversible, alors M et N sont inversibles.

[Yopppp]

Personne ??

[henryallen]

Bonjour,

Oui, si M et N sont deux matrices carrées telles que MN = I, alors on a également NM = I.

Pour voir ça, on peut par exemple raisonner en termes d'endomorphismes associés.
Si on prend , et que f et g sont les endomorphismes de E dont les matrices dans la base canonique sont respectivement M et N, on a donc .
En particulier, est surjective, donc (c'est un résultat classique) f est surjective.
Or en dimension finie, pour un endomorphisme l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont équivalentes (on le voit aisément avec le théorème du rang par exemple).
Donc ici, f est bijective, et en repassant aux matrices, M est inversible.

Donc avec ce que vous avez dit précédemment, on a bien une solution à votre problème.

[minushabens]

j'ai écrit une bêtise plus haut (une de plus...). En effet dans un anneau quelconque un élément peut avoir un inverse à droite mais pas à gauche. Ca me fait penser que le résultat à démontrer n'est pas vrai en toute généralité. Il peut ne pas être vrai pour des matrices à coefficients dans un anneau non commutatif.