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Matrice non inversible



  1. #1
    Yopppp

    Matrice non inversible


    ------

    Bonjour,

    Je cherche des éléments pour montrer simplement la propriété suivante : si une matrice carré M n'est pas inversible, alors MN (avec N matrice carré) n'est pas inversible ?

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Matrice non inversible

    Bonsoir,

    On peut (par exemple) le montrer au moyen de deux propriétés du déterminant: une matrice non-inversible possède un déterminant nul et le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des matrices. De-là, il suffit de conclure.

  4. #3
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    Merci pour votre réponse, justement c'est pour montrer cette deuxième propriété que j'ai fait cette demande, si vous aviez une autre idée, cela m'arrangerait...

  5. #4
    henryallen

    Re : Matrice non inversible

    Bonsoir,

    Un raisonnement par l’absurde/par contraposition convient. Si MN est inversible, alors ... donc M est inversible. Il reste à compléter le trou.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    Ah effectivement je crois avoir trouver, dites moi si je me trompe :

    Si MN est inversible, alors elle est équivalente par colonne a In (sur ce point j'ai un doute, je sais que par ligne cela marche mais pas colonne ?)
    Donc il existe P0....Pn matrices d'opérations élémentaires (inversibles) telles que MN=In*P0...Pn.
    On multiplie chaque matrice Pi par son inverse Ai a droite, donc MN*An....A0=In.
    On a donc N*An...A0 qui est la matrice inverse de M, M est donc inversible.

    J'ai juste un doute comme j'ai écris sur l'équivalence par colonne a In.

  8. #6
    minushabens

    Re : Matrice non inversible

    c'est une propriété vraie dans tout anneau, tu peux essayer de la montrer dans ce cadre et elle sera vraie ipso facto pour les anneaux de matrices.

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  10. #7
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    Quand vous dîtes "c'est une propriété vraie" vous parlez de : si une matrice est inversibles alors elle est équivalente par colonne a In" c'est ça ?

  11. #8
    Médiat

    Re : Matrice non inversible

    Bonjour,

    Non, tous les anneaux ne sont pas des anneaux de matrices : si MN est inversible, il existe P tel que (MN)P = I (dans ce que je viens d'écrire M, N et P n'ont pas à être des matrices, mais pour conclure, vous allez avoir besoin de propriétés particulières)
    Dernière modification par Médiat ; 26/05/2020 à 09h48.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    En fait je ne sais pas ce que c'est qu'un anneau...
    Mais on pourrait dire, si MN est inversible alors il existe P telle que (MN)P=In, soit M(NP)=In donc M inversible ?
    Mais le problème c'est qu'il faudrait la commutativité de M et N (ou de N et P) pour pouvoir dire également que N est inversible...

  13. #10
    Médiat

    Re : Matrice non inversible

    Pas grave,

    mais N n'a pas d'importance ici, ceci dit vous n'avez démontrer que l'existence d'un inverse à droite
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    Si M a un inverse a droite alors a gauche aussi non ? On a toujours dit ça en cours en tout cas.

    Et je pense que il faut quand même montrer que N a un inverse aussi, car la propriété que l'on veut démontrer est : si M ou N n'est pas inversible alors MN n'est pas inversible, la contraposée est donc, Si MN est inversible, alors M et N sont inversibles.

  15. #12
    Yopppp

    Re : Matrice non inversible

    Personne ??

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  17. #13
    henryallen

    Re : Matrice non inversible

    Bonjour,

    Oui, si M et N sont deux matrices carrées telles que MN = I, alors on a également NM = I.

    Pour voir ça, on peut par exemple raisonner en termes d'endomorphismes associés.
    Si on prend , et que f et g sont les endomorphismes de E dont les matrices dans la base canonique sont respectivement M et N, on a donc .
    En particulier, est surjective, donc (c'est un résultat classique) f est surjective.
    Or en dimension finie, pour un endomorphisme l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont équivalentes (on le voit aisément avec le théorème du rang par exemple).
    Donc ici, f est bijective, et en repassant aux matrices, M est inversible.

    Donc avec ce que vous avez dit précédemment, on a bien une solution à votre problème.

  18. #14
    minushabens

    Re : Matrice non inversible

    j'ai écrit une bêtise plus haut (une de plus...). En effet dans un anneau quelconque un élément peut avoir un inverse à droite mais pas à gauche. Ca me fait penser que le résultat à démontrer n'est pas vrai en toute généralité. Il peut ne pas être vrai pour des matrices à coefficients dans un anneau non commutatif.

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