Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 6 sur 6

Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia



  1. #1
    Alex1504

    Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia


    ------

    Bonjour à tous,
    Pour améliorer ma culture mathématique, je cherche à en savoir plus sur l'axiome du choix. Je m'intéresse donc au lemme de Zorn (qui a l'air d'avoir beaucoup d'applications dans des domaines que je connais: en particulier l'existence des bases en dimension infinie et le théorème de Steinitz sur les polynômes). J'aimerais comprendre l'article wikipedia qui porte sur la démonstration de ce lemme: https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Zorn
    Ne connaissant pas les ordinaux, je suis tout de suite passé à la démonstration par réunion de chaînes bien ordonnées. Et là je coince: je ne comprend pas en quoi le majorant de la g-chaîne maximale (dont l'existence est assurée par le lemme 1) est un élément maximal de E. En effet, je comprend qu'il s'agit d'un élément maximal de la g-chaîne maximale, mais je ne vois pas le rapport entre ce majorant de la g-chaîne maximale et E tout entier.
    Pourriez-vous m'aider svp?

    -----

  2. #2
    ornithology

    Re : Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia

    soit A l'élément maximal de la gchaine C, A appartient a C.
    par définition A maximal dans E signifie que pour tout x>= A on a x = A
    supposons le contraire : il existe x différent de A strictement supérieur a A
    alors pour tout y de C on a y <= A < x. x est alors un majorant strict de C mais C est une chaine maximale
    d ou A maximal dans E.
    je suppose que c'est l'argument qui manque dans wikipedia.

  3. #3
    Alex1504

    Re : Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia

    Merci pour cette réponse. Mon erreur vient du fait que je dois avoir une mauvaise définition «*d’élément maximal*». Pour moi il s’agit d’un élément M de E tel que pour tout x de E, x<=M. Or dans le démonstration utilisée c’est plutôt : pour tout x de E tel que x et M sont comparables on a x<=M. Cette deuxième définition autorise potentiellement l’existence de plusieurs éléments maximaux si l’ordre n’est pas total (contrairement à la définition que je croyais bonne), d’où l’expression « au moins*un élément maximal*» dans le lemme de Zorn.
    Est-ce que je me trompe?

  4. #4
    ornithology

    Re : Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia

    j'ai pris la définition d'élément maximal donné dans wikipédia

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ornithology

    Re : Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia

    plus une preuve par l'absurde en supposant que l"element maximal de C ne l'est pas dans E.

  7. #6
    Alex1504

    Re : Démonstration du lemme de Zorn: article Wikipedia

    Merci beaucoup, j'ai compris la démonstration du lemme de Zorn.

Discussions similaires

  1. Équivalence axiome du choix et lemme de Zorn
    Par invite563547f9 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 20/12/2018, 16h40
  2. Lemme de Zorn et convexité
    Par invite332de63a dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 13/06/2012, 00h19
  3. Sous groupe de (R,+) et lemme de Zorn.
    Par invitea0db811c dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 10/11/2010, 20h31
  4. Lemme de Zorn et inductivité
    Par invitef4586ae2 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 02/05/2010, 17h51
  5. La propriété du nilradical sans le lemme de Zorn
    Par invite4793db90 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 03/02/2009, 16h07