Dérivée fonction absolument continue

[Alex1504]

Up, c’est «*absolument CONTINUE*» dans le tire, désolé...
Bonjour,
J’ai trouvé une jolie démonstration du théorème fondamental de l’analyse pour l'intégrale de Lebesgue sur les fonctions absolument continues sur [a,b].
Le hic, c’est qu’on a besoin du résultat suivant:
Toute fonction absolument continue sur [a,b] est dérivable lambda-presque partout et sa «*dérivée*» (on a remplacé par des 0 là où elle n’est pas définie) est intégrable sur [a,b].
Je ne trouve aucune preuve de ce théorème sur le net. J’aimerais juste savoir si, depuis mon petit niveau de L3, (donc sans aucune notion sur la dérivée de radon-Nykodime par exemple (aucune idée de si c’est utile, c’est juste histoire de situer mon niveau)) je peux «*inventer*» la démo. Si non, connaissez-vous une démo abordable? Et si c’est vraiment un résultat trop compliqué, dites-le aussi svp
A bientôt!
-----

[Tryss2]

La démo que je connais est trop longue pour être redécouverte.

Après, les pièces du puzzle ne sont pas particulièrement délicates, et la démonstration n'est pas particulièrement astucieuse. Par contre, il faut assembler pas mal de morceaux.

L'idée est la suivante :

Théorème 1 : on prouve le résultat pour les fonction absolument continues (abrégé AC) croissantes
Théorème 2 : on prouve qu'une fonction AC est la différence de deux fonctions AC croissantes.

Idée des preuves de ces deux théorèmes :

Pour montrer le Théorème 1 :

 Cliquez pour afficher

On prouve que l'image d'un ensemble de mesure nulle par une fonction AC croissante f est de mesure nulle, et on peut alors appliquer le théorème de Radon-Nikodym à la mesure m définie par m(E) = µ(f(E)) (avec µ la mesure de Lebesgue), ce qui permet d'écrire



(1) par croissance et continuité de f, (2) par Radon-Nikodym. On conclu alors en utilisant le théorème de dérivée d'une intégrale au sujet duquel tu t'interrogeai dans un message précédent.

Pour montrer le théorème 2 :

 Cliquez pour afficher

On introduit la "fonction de variation totale de f" :
,
où le sup est sur tout les choix possibles de N et

On montre que F+f et F-f sont AC croissante