Groupe engendré par le complémentaire de H dans G
salut tous le monde,
dans un exercice, on me dit soit H un sous groupe strict d'un groupe (G,*)
et me demande de déterminer le groupe engendré par le complémentaire de H dans G
alors dans la correction il commence par
G=H-<G-H> (POURQOUI CECI EST VRAI)
et dise aussi que H n'est pas inclus dans <G-H> (POURQOUI CECI EST VRAI)
et termine par dire que H EST INCLUS ALORS DANS <G-H> d'où le résultat
si quelqu'un peut me clarifier l'idée de cette exercice ca serait un grand plaisir
Bonjour.
Moi je ne comprends pas non plus, si je décode bien les notations :
"G=H-<G-H> " Je lis <G-H> comme étant le sous-groupe engendré par G-H, G-H et H-<G-H> comme des notations ensemblistes (<G-H> est l'ensemble sous-jacent au sous-groupe engendré; et l'opération étant *, il n'y a pas d'opération -). Mais ce n'est pas possible, G contient au moins l'élément neutre (je le note 1 puisque c'est la notation multiplicative). H et <G-H> contiennent aussi 1, donc H-<G-H> ne contient pas 1. Contradiction.
La fin de ton message est elle aussi contradictoire (H est-il inclus ou pas inclus ?)
Cordialement.
Bon ce que vous dites c'est aussi la raison pour laquelle je comprend pas la correction
Prenons un exemple :
Je te laisse vérifier que l'ensemble des rationnels strictement positifs muni de la multiplication habituelle est bien un groupe, et que H est bien un de ses sous-groupes.
est l'ensemble des rationnels strictement positifs qui ne sont pas des puissances entières de 2. Il contient 12 et 6, donc le sous groupe engendré contient 12/6 = 2, et ses puissances. On retombe sur G. Est-ce cela qu'il faut démontrer ? (*)
Cordialement.
(*) Je n'ai jamais rencontré cet exercice', je réfléchis avec toi.
NB : Si la correction est sur un livre, peux-tu nous faire un scan ou une photo ?
Dernière modification par gg0 ; 04/11/2020 à 17h22.
